1) Prisma triunghiulara regulata drepta ABCA'B'C' are latura bazei egala cu 12 cm si muchia laterala egala cu 12√2 am . Aflati:
a) masura unghiului dintre dreptele A'C si BC'
b) tangenta unghiului format de dreptele A'C si BB'
SI cu rezolvare completa , rog mult de tot
2) fie triunghiul echilateral ABC si M nu apartine lui ( ABC) astfel incat MA=6 si MB=MC=6√3. Stiind ca AB = 12 si D este mijlocul lui BC , aratati ca MA perpendicular MD si calculatia aria triunghiului MAD

1)a) Vezi figura atasata.
Prin A am dus o paralela la BC, si avem AM||BC si AM=BC
Prin A' am dus o paralela la C'B , si avem A'M||C'B si A'M=C'B
Observam ca A'C=C'B pt ca ambele sunt diagonale ale dreptunghiurilor egale(pt ca avem prisma regulata) A'C'CA si C'B'BC .
=> unghiul format de A'C si C'B este = unghiul format intre A'C si A'M
si A'C=A'M

In ΔA'CA,
A'C²=A'A²+AC²=12²*2+12²=12²*3
A'C=12√3=A'M

Daca AM|| si egal cu BC, atunci AM=AC
=> CM_|_AM
CM= 2* inaltimea ΔABC
inaltimea ΔABC=AC*√3/2=12√3/2=6√3
=> CM=12√3

=> in ΔA'MC observam ca
A'C=12√3=A'M=CM=>ΔA"MC=echilateral=>
unghiul format intre A'C si A'M si A'C=A'M este 60°

b)tg unghiul (A'C, BB')= tangenta unghiului (A'C, AA')=AC/A'A=
=12/12√2=1/√2=√2/2

2) vezi a doua figura atasata;
Daca ΔABC este echilateral si D este mijlocul lui BC=> AD este inaltime in ΔABC=>
AD=AC√3/2=12√3/2
=>AD=6√3

In ΔMBC MB=MC=6√3.=> ΔMBC=isoscel, iar MD=inaltime
=> in ΔMDC avem: DC=BC/2=6
MD²=MC²-DC²=(6√3)²-6²=36*3-36=36*2
MD=6√2

In ΔMAD
MA=6
Am aflat MD=6√2 si AD=6√3
observam ca:
MA²+MD²=6²+(6√2)²=36+36*2=36*3=AD²
=> Daca MA²+MD²=AD²=> ΔMAD este dreptunghic, iar <AMD=90=>
MA_|_MD

Aria ΔMAD= MA*MD/2=6*6√2/2=18√2