In triunghiul ABC se construieste mediana [AM] , M € BC. Simetricul P al lui A fata de M are proprietatea ca [PM]=[BM] . Fie D si E picioarele inaltimilor duse din A respectiv P in triunghiurile ABC si respectiv BPC.
a) Aratati ca ABPC este dreptinghi
b) Stiind ca AP=4•DM, aratati ca triunghiul ABM este echilateral
c) Aratati ca AEPD este paralelogram

a) AM=mediana=>BM=MC
daca P este simetricul lui A fata de M
=> AM=MP, iar <AMP=180=> AM=diagonala in ABPC
Daca MP=BM=> MP=MB=MC=AM=> AP=BC si se injumatatesc in M;

Comparam ΔABM cu ΔPMC si aflam ca :
AM=MP
<AMB=<CMP
BM=MC
conform LUL=> ΔABM ≡ ΔPMC=>
AB=CP si AB||CP pentru ca <BAP=<APC ;
de asemena aflam ca BP=AC si BP||AC=
ABPC=paralelogram

Si, daca avem un paralelogram cu diagonalele congruente=> ABPC=dreptunghi.

b)Daca AP=4•DM=>
2AM=4DM⇒AM=2DM
De vreme ce AM=BM
=> 2DM=MB => daca in ΔABM AD este si inaltime , mediana si mediatoare => AB=AM, dat AM=BM=>
AM=AB=BM=> ΔABC=echilateral

c) Daca AD_|_BC si PE_|_BC=> AD||PE
Am stabilit ca AB=PC=>
ΔMPC=ΔABM=echilaterale, si, daca PE este inaltime in ΔMPC=> PE=AD
si => DM=ME
=> patrulaterul ce are laturile opuse si paralele, iar diagonalele AP si DE se injumatatesc in M=> AEPD=paralelogram