Fiind o progresie aritmetica, vom folosi aici: [tex] a_{k}- a_{k+1} =-r,si: a_{n}= a_{1}+(n-1)r,de.unde.deducem;
[/tex], [tex]a_{1}- a_{n}=-(n-1)r.[/tex].
Rationalizam numitorii in membrul stang, amplificam fiecare fractie cu conjugatul numitorului si obtinem:
[tex] \frac{ \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{2} } }{ a_{1}- a_{2} }+\frac{ \sqrt{ a_{2} }- \sqrt{ a_{3} } }{ a_{2}- a_{3} }+...+\frac{ \sqrt{ a_{n-1} }- \sqrt{ a_{n} } }{ a_{n-1}- a_{n} }=[/tex], numitoriirunt egali cu -r, iar termenii se reduc si ne ramane :
[tex]- \frac{1}{r}( \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{n} })= - \frac{1}{r} \frac{ a_{1}- a_{n} }{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} = \frac{n-1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} ,[/tex], la ultima fractie am folosit formula data la inceput.
