Răspuns :
ABCD - trapez isoscel ⇒ AD= BC = 32 cm
∡ BAC ≡ ∡ DAC (1), rezulta ca
AC este bisectoarea unghiului DAB, deci
m(∡ CAB) =m(∡DAB)/2 (1)
In trapezul isoscel ABCD, unghiurile alaturate bazei AB sunt congruente, adica:
m(∡DAB) = m(∡ABC) (2)
Din relatiile (1), (2) ⇒ m(∡ CAB) =m(∡ABC)/2 ⇒ triunghiul BCA este de forma
(30°, 60°, 90°), m(∡CAB)= 30°.
Aplicam teorema unghiului de 30° si avem:
AB = 2· BC ⇒ AB = 2· 32 ⇒ AB = 64 cm
Observam ca ∡CAB ≡ ∡ ACD (alterne interne) (3)
Din relatiile (1), (3) ⇒ ∡DAC ≡ ∡ ACD ⇒ Δ DAC - isoscel,
CD = AD = 32 cm
In acest moment, noi cunoastem lungimile celor 4 laturi
ale trapezului ABCD.
Pentru a afla aria, este necesar sa determinam inaltimea trapezului.
Ducem inaltimile DE si CF si determinam FB = 16 cm, AF = 48 cm.
Se observa ca CF este inaltime in triunghiul dreptunghic BCA, unde vom aplica teorema inaltimii:
CF² = AF·FB ⇒ CF² = 48·16 ⇒ CF² = 3·16·16 ⇒ CF = √(3·16·16) =4·4√3
Deci, CF = 16√3 cm.
Aria trapezului este:
[tex]\mathcal{A} = \dfrac{AB\cdot CD}{2} \cdot CF = \dfrac{64+32}{2}\cdot 16\sqrt3 = 48\cdot16\sqrt3 =768\sqrt3 \ cm^2[/tex]
∡ BAC ≡ ∡ DAC (1), rezulta ca
AC este bisectoarea unghiului DAB, deci
m(∡ CAB) =m(∡DAB)/2 (1)
In trapezul isoscel ABCD, unghiurile alaturate bazei AB sunt congruente, adica:
m(∡DAB) = m(∡ABC) (2)
Din relatiile (1), (2) ⇒ m(∡ CAB) =m(∡ABC)/2 ⇒ triunghiul BCA este de forma
(30°, 60°, 90°), m(∡CAB)= 30°.
Aplicam teorema unghiului de 30° si avem:
AB = 2· BC ⇒ AB = 2· 32 ⇒ AB = 64 cm
Observam ca ∡CAB ≡ ∡ ACD (alterne interne) (3)
Din relatiile (1), (3) ⇒ ∡DAC ≡ ∡ ACD ⇒ Δ DAC - isoscel,
CD = AD = 32 cm
In acest moment, noi cunoastem lungimile celor 4 laturi
ale trapezului ABCD.
Pentru a afla aria, este necesar sa determinam inaltimea trapezului.
Ducem inaltimile DE si CF si determinam FB = 16 cm, AF = 48 cm.
Se observa ca CF este inaltime in triunghiul dreptunghic BCA, unde vom aplica teorema inaltimii:
CF² = AF·FB ⇒ CF² = 48·16 ⇒ CF² = 3·16·16 ⇒ CF = √(3·16·16) =4·4√3
Deci, CF = 16√3 cm.
Aria trapezului este:
[tex]\mathcal{A} = \dfrac{AB\cdot CD}{2} \cdot CF = \dfrac{64+32}{2}\cdot 16\sqrt3 = 48\cdot16\sqrt3 =768\sqrt3 \ cm^2[/tex]
