[tex]Conditiile \ de \ existenta:
\\\;\\
x+1\ne0 \Rightarrow x \ne -1\ \ \ \ (1)\\\;\\
x+4\ne0 \Rightarrow x \ne -4\ \ \ \ (2)[/tex]
Descompunem in factori x²+5x+4 =x²+x+4x+4 = x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4)
(x+1)(x+4) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 si x ≠ -4 (analizate anterior)
x²-1 ≠ 0 ⇒ (x-1)(x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 si x ≠ 1 (3)
Pentru ca la sfarsitul parantezei din expresie avem o impartire la o fractie, aceasta va trebui transformata in inmultire, deci numaratorul x+2 devine numitor, prin urmare punem conditia :
x+2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2 (4)
Din relatiile (1), (2), (3), (4) ⇒ expresia este definita pentru:
x ∈ ℝ- {-4, -2, -1, 1}
b) Aducem expresia la forma cea mai simpla. Am vazut ca
x²+5x+4 =(x+1)(x+4), deci, numitorul comun in paranteza este
(x+1)(x+4) si, dupa amplificari, vom avea:
[tex]E(x)= \dfrac{(x+3)(x+4)-(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+4)+1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x+2}=
\\\;\\
\dfrac{x^2+4x+3x+12-x^2+1+1}{(x+1)(x+4)}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+2}=
\\\;\\
=\dfrac{7x+14}{(x+1)(x+4)}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+2} = \dfrac{7(x+2)}{(x+1)(x+4)}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+2}
\\\;\\
.[/tex]
Dupa simplificari, obtinem:
[tex]E(x)= \dfrac{7x-7}{x+4}[/tex]
