[tex] (ax+by)^{2}= a^{2} b^{2} +2abxy+ b^{2} y^{2}
[/tex
[tex] (a^{2} + b^{2} )( x^{2} + y^{2} )= a^{2} x^{2}+ a^{2} y^{2}+ b^{2} x^{2}+ b^{2} y^{2} [/tex]
Presupunem ca: [tex]a^{2} b^{2} +2abxy+ b^{2} y^{2} [/tex]≤[tex]a^{2} x^{2}+ a^{2} y^{2}+ b^{2} x^{2}+ b^{2} y^{2} [/tex] [/tex] reducem termenii asemenea din cei doi membri si obtinem relatia echivalenta:
2abxy≤ [tex] a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} [/tex] Trecem tot in membrul drept, restrangem patratul perfect si noua relatie e echivalenta cu precedenta :
0≤([tex]( ay-bx)^{2} [/tex], relatie adevarata un patrat e ≥0, deci presupunerea este adevarata.
