a)P(n): n³+11n divizibil cu 6
Prima etapa a inductiei:
Ii dam lui n valoarea 2:
2³+11*2 divizibil cu 6
30 e divizibil cu 6=>P(2) adevarat.
Presupunem ca P(k) e adevarat
Formam P(k+1)
P(k+1) : (k+1)³+11(k+1) divizibil cu 6
=> k³+3k²+3k+1+11k+11=> (k³+11k)+3k²+3k+12<=>
(k³+11k)+12+3k(k+1); de aici deducem ca este divizibil cu 6
=>P(k) adevarata.
b)10^n+18n-28
P(0) : 1+0-28 ==27 =>divizibil cu 27 =>P(0) adevarata.
Presupunem ca P(k ) e adevarata si demonstram P(k+1)
10 ^k+1 +18(k+1) -28
10*10^k+18k+18-28
10*10^k+18k-10 ; grupandu-i ca sa formam ce am avut prima data, obtinem ca este divizibil cu 27.
c) 9 ^n+1-8n-9
P(1): 81-8-9= 64 =>ca este divizibil cu 16; deci P(1) e adevarata.
Presupunem ca P(k) e adevarata si demonstram P(k+1)
9^n+1 - 8n-9= 9^n*9 -8n-9
Daca n=2k
9^2k* 9 -16k-9= 81^k-16k-9 =(80+1) ^k -16k-9=Multiplu de 16+9 -16k -9=M16
Daca n=2k+1
=> 81^k+81-16k -8-9 =Multiplu de 16 +81 -16k-17=Multiplu de 16 -64=Multimplu de 16
Deci, P(k+1) e adevarata=>P(n) e adevarata.
