Consideram trei functii
[tex] g_{1} :(- \infty 1] -\ \textgreater \ IR , g_{1}(x)=x
g_{2} :(1 3) -\ \textgreater \ IR , g_{2}(x)=ax+b
g_{3} :(3 \infty ] -\ \textgreater \ IR , g_{3}(x)=2x+4
[/tex]
Functia g este injectiva daca [tex]g_{1},g_{2},g_{3} [/tex] injective si Img(1)∩Img(2)=Img(g2) ∩ Img(g3)= Img(g3)∩ Img (g1)= multimea vida
Functia g este surjectiva daca Img(1)∪Img(2)∪Img(3)=IR
Functia g bijectiva daca g injectiva si g surjectiva
Cum g1,g2,g3 sunt toate functii de gradul I, toate sunt injective. In plus[tex]Img_{1}=(-\infty 1], Img_{3}=[10 \infty)[/tex] atunci pentru ca g sa fie surjectiva avem (1 10)⊆ Img(2)
Calculam acuma imagine lui g2 si obtinem
Fie y=g2(x)=ax+b
[tex](-\infty 1][/tex]
Avem de trat trei cazuri:
[tex]a=0=\ \textgreater \ y=Img_{2}={b}[/tex] Cum (1 10) ⊄{b} f nu este surjectiva si deci nici bijectiva.
Daca b∉ [tex][10 \infty)[/tex] atunci g este injectiva in caz contrar nu este.
[tex]a\ \textgreater \ 0 [/tex] obtinem (cum a≠0) ca [tex]x= \frac{y-b}{a} [/tex]
dar cum 1<X<3 obtinem [tex]1\ \textless \ \frac{y-b}{a} \ \textless \ 3 = \ \textgreater \ \ \textgreater \ a+b\ \textless \ y\ \textless \ 3a+b =\ \textgreater \ Img_{2}=(a+b ; 3a+b)[/tex].
Pentru g sa fie surjectie trebuie sa avem urmatorul caz (sunt 3 cazuri)
[tex]a\ \textless \ 0 [/tex] Se procedeaza aproximativ la fel ca in cazul anterior, doar ca la inmultirea cu a in acel lant de inegalitati se vor schimba semnele.
