a) Pentru a afla simetricul unui punct avem nevoie mai întâi de elementul neutru.
N: Există e ∈ R, a.î. x*e=e*x=x (acest enunţ implică şi comutativitatea, pe care trebuie să o demonstrezi separat; presupun totuşi că este suficient să spui că 'înmulţirea şi adunarea numerelor reale este comutativă').
[tex]x*e=x<=>6xe-5(x+e)+5=x<=>6xe-5x-5e+5-x=0[/tex]
[tex]<=>6xe-6x-5e+5=0\\
<=>6x(e-1)-5(e-1)=0\\
<=>(e-1)(6x-5)=0[/tex]
De aici rezultă că e-1=0 => e=1, ∈ R.
S: Există x' ∈ R, a.î. x*x'=x'*x=e (adică =1)
[tex]6x'x -5x-5x'-5=1<=>x'(6x-5)-5x+4=0[/tex]
[tex]=> x' = \frac{5x-4}{6x-5} [/tex]
x=2 => x' = 6/7
b) [tex](x*x)*x= (6x^2-10x+5)*x[/tex]
[tex]=> (x*x)*x= (6x^2-10x+5)*x[/tex]
[tex]=>6x(6x^2-10x+5)-5(6x^2-9x+5)+5=x[/tex]
[tex]=> 6x(6x^2-10x+5)-5(6x^2-9x+5)+5-x=0[/tex]
[tex]=> 2(x-1)(3x-2)(6x-5)=0[/tex]
[tex]x_1= \frac{2}{3}\\ \\
x_2=\frac{5}{6}\\ \\
x_3=1[/tex]
