a) (a, b)=14
a∙b= 1176
(a, b)=14 inseamna
ca cel mai mare divizor comun al lui a si b este 14, deci exista doua nr nat k
si p astfel incat:
a=14*k
b=14*p
unde (k;p)=1 adica p si k sunt prime intre ele (nu au
divizori comuni)
Inlocuim in a∙b= 1176:
14*k*14*p=1176=6*14*14 de unde, impartind prin 14*14:
k*p=6=1*6=2*3 unde (k;p)=1
Deci k = 1 si p=6 sau k=2 si p=3, de unde avem solutiile:
a=14 si b=84 sau a=28 si b=42 si
putem inversa valorile lui a si b, adica b=14 si a=84 sau b=28 si a=42.
b) a+b=126
(a, b) =18
La fel ca mai sus:
a=18k
b=18p
unde (k;p)=1
Inlocuim in
a+b=126 :
18*k+18*p=126=18*7
18(k+p) = 18*7
impartim ambii membri a 18:
k+p=7 si dam valori lui k de la 0 la 7, obtinand valorile
lui p corespunzatoare, de la 7 la 0, deci a si b iau valorile:
a=0 si b=126
sau
a=18 si b=108
sau
a=36 si b=90
sau
a=54 si b=72
sau
a=72 si b=54
sau
a=90 si b=36
sau
a=108 si b=18
sau
a=126 si b=0
c) (a, b)=15 4a+ 5b= 315
La fel ca mai sus:
a=15k
b=15p
unde (k;p)=1
Inlocuim in 4a+ 5b= 315
4*15*k+5*15*p=315=21*15 impartim ambii membri la 15:
4*k+5*p=21
Observam ca 21 este impar, 4k este par pentru orice k
natural si cum doar par+impar=impar rezulta ca 5*p=impar, dar 5 impar si cum
impar*impar=impar rezulta ca
p=impar
Observam ca p poate lua valoarea impara maxima 3, deoarece
5*5=25>21, deci analizam p=1 si p=3
Pentru p=1 obtinem:
4k+5=21
4k=16
k=4
deci a=15*4=60 si b=15
Pentru p=3 obtinem:
4k+15=21
4k=6
2k=3 care nu convine pentru k nar nat
Deci solutia finala este:
a=60 si b=15
