[tex]\int \frac{1+\sqrt{x}}{1+x) } = \int ( \frac{1}{1+x)} + \frac{\sqrt{x}}{1+x) } ) = \int \frac{1}{1+x} + \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}[/tex]
Acum le luăm separat:
1. [tex] \int \frac{1}{1+x} \ dx; \\
notam \ 1+x = t <=> (1+x)' = t' <=> dx = dt; \\
\int \frac{1}{t} = ln \ t = ln (x+1) [/tex]
2. [tex] \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\
notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt;[/tex]
Modificăm integrala iniţială într-un mod convenabil, ca să putem folosi ce am calculat mai sus:
[tex]\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt; \\
\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx = \int \frac{(2\sqrt{x}) \sqrt{x}}{(2\sqrt{x})(1+\sqrt{x}^2)} \ dx
[/tex]
(am pus între paranteze ce am adăugat, ca să se observe - acel [tex]2 \sqrt{2} [/tex]-)
Înlocuim [tex] \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex] cu dt (cel rezultat din schimbarea de variabilă):
[tex]\int \frac{2\ t \ t}{1+t^2} dt = 2 \int \frac{ t^2}{1+t^2} dt = 2 \int 1- \frac{1}{1+t^2} \ dt = 2 \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\
=2t - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\
\int \frac{1}{1+t^2} dt = arctg \ t[/tex]
De aici presupun că te descurci..
le: aparent site-ul are buguri; văd că s-au bulit formulele ... o_O
