a) Ridicam la patrat si obtinem:
[tex]\frac{(a+b)^2}{4}\leq\frac{a^2+b^2}{2}\Leftrightarrow(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\leq2(a^2+b^2)\\
\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\ ($adevarat, vezi cealalta postare$)\\
[/tex]
b)
[tex]m_a-m_g\geq m_g-m_h\Leftrightarrow\frac{m_a+m_h}{2}\geq m_g\\
$Aplicam inegalitatea dintre media geometrica si aritmetica pentru$\\
m_a,\ m_h:
\frac{m_a+m_h}{2}\geq\sqrt{m_a\cdot m_h}=m_g\\[/tex]
c) Prima parte a inegalitatii este:
[tex]m_g\leq \frac{m_a+m_h}{2}[/tex]
pe care am demonstrat-o la punctul precedent.
A doua inegalitate este evidenta deoarece membrul stang (expresia din mijloc) reprezinta media aritmetica dintre media aritmetica si cea armonica a numerelor a si b. Si stim ca media aritmetica a doua numere este mai mica sau egala cu cel mai mare dintre numere respectiv media aritmetica dintre a si b (in cazul nostru).
