Răspuns:
Pentru prima cerință, să calculăm derivata funcției f(x) = x^4 - 4x^3 + mx - 3:
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + m
Pentru a avea trei puncte de extrem, derivata trebuie să aibă trei rădăcini distincte. Astfel, egalăm derivata cu zero și găsim rădăcinile:
4x^3 - 12x^2 + m = 0
Pentru a doua cerință, pentru ca f(x) = mx - ln(1+x^2) să fie descrescătoare pe R, derivata funcției trebuie să fie negativă pe tot intervalul R. Calculăm derivata funcției:
f'(x) = m - 2x / (1 + x^2)
Pentru ca funcția să fie descrescătoare, f'(x) trebuie să fie negativă pentru orice x din R. Astfel, m - 2x / (1 + x^2) trebuie să fie mai mic decât zero pentru orice x.
Răspuns:
Pentru a determina valorile reale ale lui m în cele două situații date, vom analiza fiecare problemă în parte:
1) Pentru funcția f(x) = x^4 - 4x^3 + mx - 3 care admite 3 puncte de extrem, trebuie să calculăm derivatele funcției și să găsim condițiile pentru existența acestor puncte.
Derivata funcției f(x) este:
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + m
Pentru a găsi punctele de extrem, egalăm derivata la zero și rezolvăm ecuația:
4x^3 - 12x^2 + m = 0
Dacă funcția admite 3 puncte de extrem, atunci derivata trebuie să aibă 3 rădăcini distincte. Acest lucru înseamnă că discriminantul ecuației cubice trebuie să fie strict pozitiv:
Δ = 18m^2 - 4*12^3 < 0
18m^2 - 576 < 0
18m^2 < 576
m^2 < 32
|m| < √32
|m| < 4√2
Deci, valorile reale ale lui m sunt m < 4√2 și m > -4√2.
2) Pentru funcția f(x) = mx - ln(1+x^2) care este descrescătoare pe întregul domeniu de definiție, derivăm funcția și căutăm condițiile pentru ca aceasta să fie întotdeauna negativă.
Derivata funcției f(x) este:
f'(x) = m - 2x / (1 + x^2)
Pentru ca funcția să fie descrescătoare pe întregul domeniu de definiție, derivata trebuie să fie întotdeauna negativă. Astfel, pentru orice x, trebuie să avem:
m - 2x / (1 + x^2) < 0
Deoarece această inegalitate trebuie să fie adevărată pentru orice x, putem alege un x arbitrar, de exemplu x = 0, și obținem:
m < 0