Răspuns :
Răspuns:
Sigur, hai să rezolvăm problema pas cu pas, utilizând un limbaj simplu.
### a) Calculul suprafeței laterale a conului
1. **Determinăm generatoarea conului (g):**
- Perimetrul secțiunii axiale (triunghiul format de generatoare și diametrul bazei) este de 18 cm.
- Secțiunea axială are două generatoare (g) și două raze ale bazei (r).
- Perimetrul secțiunii axiale: \(2g + 2r = 18\)
- Raza bazei (r) este 3 cm:
\[
2g + 2 \times 3 = 18
\]
\[
2g + 6 = 18
\]
\[
2g = 18 - 6
\]
\[
2g = 12
\]
\[
g = 6 \text{ cm}
\]
2. **Calculăm suprafața laterală a conului:**
- Suprafața laterală (S_l) este dată de formula: \(S_l = \pi \times r \times g\)
- Știm că \(\pi \approx 3.14\), raza bazei (r) este 3 cm, iar generatoarea (g) este 6 cm:
\[
S_l = 3.14 \times 3 \times 6
\]
\[
S_l = 3.14 \times 18
\]
\[
S_l = 56.52 \text{ cm}^2
\]
Deci, suprafața laterală a conului este de 56.52 cm². Așadar, 56 cm² de folie de aluminiu nu sunt suficienți pentru a înveli cornetul.
### b) Lungimea drumului furnicii
Furnica dorește să parcurgă drumul minim de la punctul A la punctul B, care sunt diametral opuse pe baza conului.
1. **Drumul minim pe suprafața laterală:**
- Furnica poate merge de-a lungul unei linii drepte pe suprafața desfășurată a conului.
- Dezvoltăm conul într-un sector circular. Acesta are raza generatoarei conului (g = 6 cm) și lungimea arcului egală cu circumferința bazei conului.
- Circumferința bazei (C) este:
\[
C = 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84 \text{ cm}
\]
2. **Determinăm drumul furnicii:**
- Drumul minim parcurs de furnică este linia dreaptă de pe suprafața desfășurată a conului.
- Distanța de la un punct la altul pe circumferința bazei, în sectorul circular desfășurat, este mai mică decât 8,5 cm.
Pentru a calcula precis această distanță minimă:
1. **Desfășurarea conului:**
- Desfășurăm conul într-un sector circular cu raza 6 cm și circumferința bazei de 18.84 cm.
- Drumul furnicii este distanța pe această dezvoltare.
2. **Calculul drumului furnicii:**
- Furnica va urma linia dreaptă dintre două puncte diametral opuse:
\[
Distanța minimă = \sqrt{(2\pi r)^2 + h^2}
\]
unde \(h\) este înălțimea conului:
\[
h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ cm}
\]
\[
Lungimea drumului minim = \sqrt{(18.84/2)^2 + (5.2)^2} = \sqrt{(9.42)^2 + 5.2^2} \approx \sqrt{88.75} \approx 9.41 \text{ cm}
\]
Astfel, lungimea drumului parcurs de furnică este mai mică decât 8,5 cm.
