Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ 36 \ cm^2 }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Latura triunghiului echilateral ABC
[tex]A_{\triangle} = \dfrac{\ell^2_3\sqrt{3} }{4} \Rightarrow \dfrac{\ell^2_3\sqrt{3} }{4} = 54\sqrt{3} \Rightarrow \ell^2_3 = 216 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf AB = 6\sqrt{6} \ cm[/tex]
Cercul de centru O este înscris în triunghi. Raza cercului înscris în triunghiul echilateral este
[tex]r = \dfrac{h_3}{3} = \dfrac{\ell_3\sqrt{3} }{6} = \dfrac{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} }{6} = 3\sqrt{2}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf OE = 3\sqrt{2} \ cm[/tex]
Latura pătratului înscris în cercul cu raza r = 3√2 cm este:
[tex]\ell_4 = r\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf EF = 6 \ cm\\[/tex]
Aria pătratului cu latura de 6 cm:
[tex]A_{\square} = \ell^2_4 = 6^2 \Rightarrow \bf \mathcal{A}_{EFGH} = 36 \ cm^2[/tex]
