Răspuns:
Pentru a demonstra că \( ED \parallel AC \) în triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB = AC \), să urmează acești pași:
1. **Identificarea elementelor problemei**: Avem triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB = AC \). Punctul \( D \) este pe segmentul \( BC \). Mediatoarea segmentului \( BD \) intersectează latura \( AB \) în punctul \( E \).
2. **Proprietăți ale mediatoarei**: Mediatoarea unui segment este o dreaptă care trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe segment. Deci, dacă \( M \) este mijlocul lui \( BD \), atunci mediatoarea lui \( BD \) trece prin \( M \) și este perpendiculară pe \( BD \).
3. **Punctul E pe mediatoarea lui BD**: Deoarece \( E \) este pe mediatoarea lui \( BD \), avem că \( E \) este echidistant de punctele \( B \) și \( D \). Astfel, \( EB = ED \).
4. **Triunghiuri congruente**:
- Considerăm triunghiurile \( EBD \) și \( EDB \).
- \( EB = ED \) (prin definiția mediatoarei).
- \( BE = BE \) (comună).
- Unghiul \( \angle EBD = \angle EDB \) (mediatoarea este perpendiculară pe segmentul \( BD \)).
Prin urmare, triunghiurile \( EBD \) și \( EDB \) sunt congruente prin criteriul Latură-Unghi-Latură (LUL).
5. **Paralelismul ED și AC**:
- Deoarece \( AB = AC \) și \( \angle EBD = \angle EDB \) (din congruența triunghiurilor \( EBD \) și \( EDB \)), unghiurile din punctul \( E \) sunt astfel încât \( \angle EAB = \angle CAB \).
- Din această congruență de unghiuri, rezultă că \( ED \) este paralelă cu \( AC \) deoarece unghiurile corespondente sunt egale.
Prin urmare, am demonstrat că \( ED \parallel AC \).
