Răspuns :
Răspuns:
21
Explicație pas cu pas:
Să considerăm un număr natural
n și un număr de două cifre identice
a. Numerele de două cifre identice sunt 11, 22, 33, ..., 99. Trebuie să găsim cel mai mic număr natural
n care, atunci când este împărțit la
a, dă câtul diferit de zero și restul maxim.
Restul maxim posibil când împărțim un număr
n la
a este
−
1
a−1, deoarece restul trebuie să fie mai mic decât
a.
Așadar, avem:
=
⋅
+
(
−
1
)
n=a⋅q+(a−1)
unde
q este câtul împărțirii și
≥
1
q≥1 deoarece câtul trebuie să fie diferit de zero.
Primul număr de două cifre identice este 11. Dacă împărțim
n la 11, atunci
n trebuie să fie:
=
11
⋅
+
10
n=11⋅q+10
Pentru
=
1
q=1,
=
11
⋅
1
+
10
=
21
n=11⋅1+10=21.
Pentru 22:
=
22
⋅
+
21
n=22⋅q+21
Pentru
=
1
q=1,
=
22
⋅
1
+
21
=
43
n=22⋅1+21=43.
Pentru 33:
=
33
⋅
+
32
n=33⋅q+32
Pentru
=
1
q=1,
=
33
⋅
1
+
32
=
65
n=33⋅1+32=65.
Se observă că
n crește pe măsură ce
a crește, iar cel mai mic
n se obține atunci când
a este cel mai mic număr de două cifre identice, adică 11.
Astfel, cel mai mic număr natural
n care, împărțit la un număr de două cifre identice, dă câtul diferit de zero și restul maxim este:
21
21
Deci, răspunsul este 21
[tex]\it n:\overline{aa}=c\ \ rest\ \ (\overline{aa}-1) \Rightarrow n=c\cdot\overline{aa}+\overline{aa}-1 \Rightarrow n=\overline{aa}(c+1)-1\\ \\ n\ este\ minim\ pentru\ \ \overline{aa}=11\ \d si\ c=1,\ \ adic\breve a:\ \ n=11\cdot2-1=21[/tex]
