Un depozit în care se aduc patru tipuri de mărfuri de la patru furnizori diferiți se află amplasat așa încât suma distanțelor la cei patru furnizori să fie minimă. Care sunt coordonatele depozitului dacă știm că într-un sistem de coordonate carteziene cei patru furnizori au coordonatele, în km, următoare: O(0,0),B(8,20),C(36,27),D(56,0)

Question

a fost răspuns

Răspuns :

Andyilye Andyilye · Answer 1 · 2024-05-05T16:34:05+03:00

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{\red{(20;15)}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

Suma distanțelor la cei patru furnizori este minimă atunci când depozitul se află la intersecția dreptelor OC și BD

[tex]OC: f(x) = \dfrac{3}{4} x[/tex]

[tex]BD: g(x) = - \dfrac{5}{12} x + \dfrac{280}{12} [/tex]

Coordonatele punctului de intersecție a reprezentărilor grafice îl aflăm din egalitatea:

[tex]f(x) = g(x)[/tex]

[tex]\dfrac{3}{4} x = - \dfrac{5}{12} x + \dfrac{280}{12}[/tex]

[tex]9x = -5x + 280 \Rightarrow 14x = 280[/tex]

[tex]\Rightarrow x = 20[/tex]

[tex]f(20) = \dfrac{3}{4} \cdot 20 \Rightarrow y = 15[/tex]

Coordonatele sunt:

[tex]G_f \cap G_g = \{A(20;15) \}[/tex]

unde:

[tex]\dfrac{y-y_C}{y_O-y_C} = \dfrac{x-x_C}{x_O-x_C} \Rightarrow \dfrac{y-27}{0-27} = \dfrac{x-36}{0-36} \\ [/tex]

[tex]\Rightarrow 36(y-27) = 27(x-36) \Rightarrow y = \dfrac{3}{4} x \\ [/tex]

și

[tex]\dfrac{y-y_D}{y_B-y_D} = \dfrac{x-x_D}{x_B-x_D} \Rightarrow \dfrac{y-0}{20-0} = \dfrac{x-56}{8-56} \\ [/tex]

[tex]\Rightarrow 48y = - 20(x-56) \Rightarrow y = - \dfrac{5}{12}x + \dfrac{280}{12} \\ [/tex]