Răspuns :
Răspuns:
Dreapta
- un punct A aparţine dreptei a, adică A є a dacă punctul A se află pe dreapta A
- două puncte determină o singură dreaptă
- se numesc puncte coliniare trei sau mai multe puncte care se află pe o dreaptă
- se numesc drepte concurente două sau mai multe drepte care au un punct comun
Semidrepte şi segmente
- se numeşte semidreaptă o porţiune dintr-o dreaptă mărginită într-oparte şi prelungită la nesfârşit în cealaltă parte
- marginea se numeşte originea semidreptei şi se notează:[OA semidreapta închisă, adică O є [OA, O originea semidreptei, A un punct oarecare de pe semidreaptă şi (OA semidreaptă deschisă, adică O ¢ (OA
- (OA şi (OB se numesc semidrepte opuse dacă A, O, B sunt puncte coliniare în această ordine
- se numeşte segment de dreaptă o porţiune dintr-o dreaptă, mărginită ăn ambele părţi. Deci un segment are două capete
- segmentul (AA)= ø este segmentul nul
- [AA]={A}
Lungimea unui segment. Operaţii cu segmente
- numim distanţa dintre două puncte A şi B, lungimea segmentului AB
- se numesc segmente congruente două segmente care au aceeaşi lungime
- se numeşte mijlocul unui segment AB, punctul M є AB, care împarte segmentul în două segmente congruente (AM)≡(MB)
- mijlocul unui segment este întotdeauna unic
Unghiul
- se numeşte unghi figura geometrică formată din două semidrepte care au aceeaşi origine
- cele două semidrepte se numesc laturi şi originea comună este vârful unghiului
- a măsura un unghi înseamnă a măsura “deschiderea” dintre semidreptele care formează unghiul
- unitatea de măsură este gradul cu submultiplii : minutul, secunda 1o=60’ şi 1’ =60”
- unghiul nul este format din două semidrepte identice, el are măsura de 0 o
- ungiul alungit este unghiul format de două semidrepte opuse, el are măsura de 180 o
- se numesc unghiuri congruente ungiurile care au aceeaşi măsură
- se numesc unghiuri adiacente două unghiuri care au o latură comună, vârful comun şi celelalte laturi de o parte şi de alta a laturii comune
- se numesc unghiuri complementare două unghiuri care au suma de 90 o
- se numesc unghiuri suplementare două unghiuri care au suma de 180 o
Bisectoarea unui unghi. Unghiuri formate în jurul unui punct
- se numeşte bisectoarea unui unghi semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul unghiului şi care formează, cu laturile unghiului iniţial unghiuri congruente
- se numeşte unghi drept orice unghi congruent cu suplementul său
- se numeşte unghi ascuţit orice unghi cu măsura mai mică de 90 o
- se numeşte unghi obtuz orice unghi cu măsura cuprinsă între 90 o şi 180 o
- suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360 o
- se numesc unghiuri opuse la vârf doă unghiuri cu acelaşi vârf şi laturile unuia în prelungirea laturilor celuilalt
- dacă două laturi sunt opuse la vârf atunci ele sunt congruente
Cazurile de congruenţă a triunghiurilor
- se distig trei cazuri de congruenţă :
- cazul L.U.L: - două triunghiuri oarecare care au două laturi şi unghiul cuprins între ele respectiv congruente, sunt congruente
cazul U.L.U: două triunghiuri oarecare care au câte o latură şi unghiurile alăturate ei respectiv congruente, sunt congruente
- cazul L.L.L: două triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente, sunt congruente
- pentru a dovedică două segmente (două unghiuri) sunt congruente, căutăm să încadrăm segmentele (unghiurile) respective în două triunghiuri a căror congruenţă poate fi demonstrată
Perpendicularitate în plan. Drepte perpendiculare
- se numesc drepte perpendiculare două drepte concurnte care formează un unghi drept → se formează patru unghiuri drepte
- notaţie : d1 ┴ d2
- prin distanţa de la un punct la o dreaptă se înţelege lungimea perpendicularei din punct pe dreaptă
- se numeşte mediatoarea unui segment dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul segmentului
- două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente
- două triunghiuri dreptunghice care au cîte o catetă şi un unghi ascuţit alăturat acesteia respectiv congruente, sunt congruente
- două triunghiuri dreptunghice ce au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente, sunt congruente
Paralelism. Drepte paralele
- două drepte distincte a şi b, conţinute în acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele
- dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiur alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele şi reciproc
- notaţie : a║b
Proprietăţile triunghiului
- suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 o
- într-un triunghi echilateral, măsura unui unghi este 60 o
- într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuţite sunt complementare
- un triunghi isoscel în care măsura unuia dintre unghiuri este 60 o este echilateral
- se numeşte unghi exterior al unui triunghi, un unghi care este adiacent şi suplementar cu un unghi al triunghiului
- măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el
- bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numeşte bisectoare exterioară a triunghiului corespunzătoare unghiului respectiv
- bisectoare exterioară şi interioară a aceluiaşi unghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
- se numeşte triunghi isoscel triunghiul care are două laturi congruente
- proprietăţile triunghiului isoscel :
1. dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente, sunt congruente şi reciproc
2. în orice triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din vârf, mediana corespunzătoare bazei, înălţimea corespunzătoare bazei şi mediatoarea bazei coincid
Triunghiul echilateral
- se numeşte triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente
- proprietăţile triunghiului echilateral :
1. unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
2. triunghiul cu toate unghiurile congruente este echilateral
3. în orice triunghi echilateral bisctoarele unghiurilor coincid cu medianele, mediatoarele şi înălţimile triunghului
Triunghiul dreptunghic
- se numeşte triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept
- într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu măsura de 30 o are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
- în orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
Relaţiile între laturile şi unghiurile unui triunghi
- într-un triunghi, unui unghi mai mare i se opune o latură mai mare şi reciproc
- dintre două oblice duse dintr-un punct pe aceeaşi dreaptă, cea “mai depărtată” de piciorul perpendicularei este “cea mai lungă”
- într-un triunghi, lungimea oricărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi şi mare decât valoarea absolută a diferenţei lor
Patrulatere. Suma unghiurilor unui patrulater
- pentru a defini un patrulater sunt necesare patru puncte distincte A, B, C, D astfel încât:
1. oricare trei puncte sunt necoliniare
2. oricare două dintre segmente [AB] şi [CD] sau [BC] şi [DA] n-au nici un punct interior comun
- figura formată din reuniunea [AB] cu [BC] cu [CD] cu [DA] şi care îndeplineşte condiţiile 1. şi 2. de mai sus, este patrulater
- un patrulater se numeşte patrulater convex dacă, oricare ar fi o latură a sa, cele două vârfuri, nesituate pe latura considerată, se află pe aceeaşi parte a dreptei în care este inclusă latura respectivă
- patrulaterul care nu este convex se numeşte concav
- suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360 o
Paralelogramul
- se numeşte paralelogram, patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două
- proprietăţile paralelogramului:
1. laturile opuse sunt congruente două câte două
2. unghiurile opuse sunt congruente două câte două
3. unghiurile consecutive sunt suplementare
4. diagonalele se intersectează în părţi congruente
- un patrulater convex este paralelogram dacă:
1. laturile opuse sunt congruente două câte două
2. unghiurile opuse sunt congruente două câte două
3. diagonalele se intersectează în părţi congruente
4. două laturi opuse sunt paralele şi congruente
Dreptunghiul
- se numeşte dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept
- proprietăţi caracteristice:
1. are toate unghiurile congruente, deci drepte
2. are diagonalele congruente
- un patrulater convex este dreptunghi dacă are toate unghiurile congruente
- paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi
Rombul
- se numeşte romb un paralelogram care are două laturi consecutive congruente
- proprietaţi caracteristice:
1. toate laturile rombului sunt congruente
2. diagonalele rombului sunt perpendiculare între ele
3. diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului
- patrulaterul convex cu toate laturile congruente
- paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb
- paralelogramul în care o diagonală este bisectoarea unui unghi este romb
Pătratul
- se numeşte patrat un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente
- pătratul are toate proprietăţile dreptunghiului şi rombului
- într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
- dacă într-un triunghi o mediană are lungimea cât jumătatea lungimii laturii care îi corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic.
Explicație pas cu pas:
Sper că te-am ajutat......
Vreau coroana.......
