Răspuns:
Pentru Subiectul II:
1.
a. Pentru matricea B = {{-4, -5}, {0, 1}}, avem:
det(B) = (-4)*(1) - (-5)*(0) = -4
b. Pentru a găsi a, vom calcula A - A - B - B și apoi A + B, și le vom egala:
A - A - B - B = {{-4, -5}, {0, 1}} - {{-4, -5}, {0, 1}} - {{-4, -5}, {0, 1}} - {{-4, -5}, {0, 1}}
= {{-4+4+4, -5+5+5}, {0+0+4, 1-1-1}} = {{4, 5}, {4, -1}}
A + B = {{-4, -5}, {0, 1}} + {{-4, -5}, {0, 1}} = {{-4-4, -5-5}, {0+0, 1+1}} = {{-8, -10}, {0, 2}}
Deci, a(A+B) = a{{-8, -10}, {0, 2}} = {{-8a, -10a}, {0, 2a}}
Egaland cele două matrici:
{{4, 5}, {4, -1}} = {{-8a, -10a}, {0, 2a}}
De aici obținem:
-8a = 4 => a = -1/2
-10a = 5 => a = -1/2 (aceeași valoare ca și mai sus)
2a = -1 => a = -1/2 (aceeași valoare ca și mai sus)
Deci, a = -1/2
c. Pentru a arăta că C(x) = xA + 2B este inversabilă pentru orice x real, vom arăta că det(C(x)) este diferit de zero.
Det(C(x)) = det(xA + 2B)
= det({{-4x + 2*(-4), -5x + 2*(-5)}, {2*0, x + 2*1}})
= det({{-4x - 8, -5x - 10}, {0, x + 2}})
= (-4x - 8)(x + 2) - (0)(-5x - 10)
= (-4x - 8)(x + 2)
= -4(x + 2)(x + 2)
Deci, det(C(x)) = -4(x + 2)^2. Deoarece această expresie nu este niciodată zero pentru orice x real, C(x) este inversabilă pentru orice x real.
2. Pentru legea de compoziție asociativă x * y = (2x - 1)^2 / 2, trebuie să verificăm proprietățile acesteia:
- Asociativitate: (x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x, y, z reale.
(x * y) * z = ((2x - 1)^2 / 2) * z = ((2(2x - 1))^2 / 2) = ((4x - 2)^2 / 2)
x * (y * z) = x * ((2y - 1)^2 / 2) = ((2(2y - 1))^2 / 2) = ((4y - 2)^2 / 2)
Întrucât ambele expresii sunt egale, legea de compoziție este asociativă.
