👤
Ionutzri
a fost răspuns

15. Numărul de zerouri în care se termină produsul p=1·2·3 ... 38 este: a 6, b 7, c 8, d 3​

Răspuns :

GreenEyes71

Salut,

Numărul de zerouri este dat de numărul de apariții ale factorilor primi 2 și 5 (pentru că 2·5 = 10, de aici provin zerourile produsului).

Mai concret, numărul de zerouri este min(n_apar_2, n_apar_5), unde

min este valoarea minimă;

n_apar_2 numărul de apariții ale factorului prim 2;

n_apar_5 numărul de apariții ale factorului prim 5.

În mod evident, în produsul din enunț factorul prim 2 apare de mult mai multe ori decât apare factorul prim 5.

Să vedem: 2 apare ca factor prim la numerele 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 38, deci apare de mai mult de 19 de ori.

În schimb 5 apare ca factor prim la numerele: 5, 10, 15, 20, 25, 30 și 35, deci apare de 6 + 2 = 8 ori (l-am numărat pe 5 de câte două ori la 25).

Cum 2 apare de mai mult de 19 ori și 5 apare de exact 8 ori, numărul p din enunț se termină cu 8 zerouri.

Răspunsul corect este deci c. 8.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.

Mirimiri35
Pentru a găsi numărul de zerouri din produsul \( p = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 38 \), trebuie să vedem câte perechi de 2 și 5 sunt în factorii din produs. Deoarece fiecare pereche de 2 și 5 contribuie la un zero în final, trebuie să determinăm numărul de 2 și 5 în factorii produsului.

Observăm că numărul de 5 este mai mic decât numărul de 2, deci numărul de zerouri din produs este determinat de numărul de 5 în factorii produsului.

Pentru a găsi numărul de 5 în factorii produsului, putem folosi formula:

\[ \text{numărul de zerouri} = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \ldots \]

unde \( n \) este numărul dat (în acest caz, \( n = 38 \)).

Calculăm acest lucru pentru \( n = 38 \):

\[ \left\lfloor \frac{38}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{38}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{38}{125} \right\rfloor + \ldots \]

\[ = 7 + 1 + 0 + \ldots \]

\[ = 8 \]

Deci, numărul de zerouri în care se termină produsul este 8. Alegerea corectă este opțiunea c) 8.

Alte intrebari