Răspuns :
1. a) Forma canonică a unei funcții de gradul al doilea este \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), unde \( (h, k) \) este vârful parabolei. Pentru funcția dată \( f(x) = 2x^2 - x - 3 \), putem folosi completarea pătratului pentru a o aduce la forma canonică:
\[ f(x) = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) - 3 \]
\[ f(x) = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{-1}{4})^2) - 2 \cdot (\frac{-1}{4})^2 - 3 \]
\[ f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 3 \]
\[ f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8} \]
Deci, forma canonică a funcției este \( f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8} \).
b) Punctul de extrem pentru o parabolă de forma \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) este vârful parabolei, în cazul nostru, punctul \( (h, k) \). Deci, punctul de extrem pentru funcția dată este \( (\frac{1}{4}, -\frac{25}{8}) \).
2. Ecuația al cărei rădăcini sunt \( x_1 = 1 \) și \( x_2 = -6 \) poate fi scrisă sub forma:
\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
\[ (x - 1)(x + 6) = 0 \]
\[ x^2 + 6x - x - 6 = 0 \]
\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]
3. Pentru a reprezenta grafic funcția \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \), putem începe prin a găsi vârful parabolei. Vârful unei parabole de forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \) este dat de \( x = -\frac{b}{2a} \). În cazul nostru, avem \( a = -1 \) și \( b = -2 \), deci \( x = -\frac{-2}{2(-1)} = 1 \).
Pentru a găsi ordinata vârfului, înlocuim \( x = 1 \) în funcția \( f(x) \):
\[ f(1) = -(1)^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \]
Deci, vârful parabolei este \( (1, 0) \).
Acum, putem trasa graficul funcției \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \), știind că este o parabolă cu concavitatea în jos și cu vârful în punctul \( (1, 0) \).
