Pentru a determina perimetrul triunghiului BMN, mai întâi trebuie să găsim lungimile laturilor BM și MN.
1. Calculăm lungimea laturii BM:
Observăm că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic, deci BAC este unghiul drept. Din proprietățile simetriei, putem deduce că BM este congruent cu AB și deci BM = AB = 6,5 cm.
2. Calculăm lungimea laturii MN:
Pentru a găsi lungimea MN, trebuie să găsim mai întâi lungimea AC, care poate fi calculată folosind trigonometria în triunghiul ABC.
Folosind relațiile trigonometrice în triunghiul ABC, putem calcula AC:
\[\sin(C) = \frac{AC}{AB}\]
\[\sin(30°) = \frac{AC}{6,5}\]
\(AC = 6,5 \times \sin(30°)\)
\(AC = 3,25 \, \text{cm}\)
Punctul N este simetricul punctului C față de punctul A, deci lungimea laturii MN este egală cu lungimea laturii AC: \(MN = AC = 3,25 \, \text{cm}\).
Acum putem calcula perimetrul triunghiului BMN adunând lungimile laturilor BM, MN și BN. Deoarece BN este congruent cu AB, perimetrul devine:
\[Perimetru \, BMN = BM + MN + BN\]
\[Perimetru \, BMN = 6,5 + 3,25 + 6,5\]
\[Perimetru \, BMN = 16,25 \, \text{cm}\]
Deci, perimetrul triunghiului BMN este \(16,25 \, \text{cm}\).