Pentru a rezolva această problemă, vom folosi formulele pentru coeficienții unui binom ridicat la o putere.
Fie dezvoltarea binomului dat de:
\[ (x^{0.5} \cdot \log_a{x} + x^{-1})^n \]
Pentru a găsi coeficienții binomiali, putem folosi formula generală a coeficienților binomiali:
\[ C_k^n = \binom{n}{k} \cdot (x^{0.5})^{n-k} \cdot (\log_a{x})^k \cdot (x^{-1})^k \]
unde \( k \) este rangul coeficientului binomial, iar \( n \) este puterea binomului.
Vom începe prin a găsi valoarea lui \( n \) din ecuația dată, având în vedere că termenul al șaselea este egal cu \( 21 \cdot a^{-4} \). Vom folosi formula pentru coeficientul termenului \( k \) din dezvoltare:
\[ C_k^n = \binom{n}{k} \cdot (x^{0.5})^{n-k} \cdot (\log_a{x})^k \cdot (x^{-1})^k \]
Pentru termenul al șaselea, \( k = 6 - 1 = 5 \). Deci, avem:
\[ C_5^n = \binom{n}{5} \cdot (x^{0.5})^{n-5} \cdot (\log_a{x})^5 \cdot (x^{-1})^5 \]
Din ecuația dată, știm că \( C_5^n = 21 \cdot a^{-4} \). Înlocuind, obținem:
\[ 21 \cdot a^{-4} = \binom{n}{5} \cdot (x^{0.5})^{n-5} \cdot (\log_a{x})^5 \cdot (x^{-1})^5 \]
Următorul pas este să găsim suma coeficienților binomiali de rang par, adică:
\[ \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} C_{2i}^n \]
Pentru a obține această sumă, vom folosi formula de mai sus și vom însuma coeficienții pentru \( k = 0, 2, 4, \ldots \).
Vom rezolva ecuația obținută pentru a găsi valorile lui \( x \) și \( n \). Apoi vom verifica aceste valori pentru a vedea dacă ecuația este satisfăcută. Vom proceda în acest mod pentru a rezolva problema.
