Răspuns:
Pentru a afla aria triunghiului MNP, putem folosi formula generală pentru arie, care este:
\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h \]
unde \( b \) este baza triunghiului și \( h \) este înălțimea corespunzătoare bazei.
În cazul nostru, baza triunghiului MNP este egală cu baza triunghiului ABC, iar înălțimea MNP va fi proporțională cu baza ABC, deoarece sunt triunghiuri similare. Deci, putem scrie:
\[ \frac{MN}{AB} = \frac{MP}{AC} = \frac{NP}{BC} = \frac{4}{3} \]
Dacă notăm lungimea bazei triunghiului MNP cu \( x \), avem:
\[ \frac{x}{AB} = \frac{4}{3} \]
Deoarece \( AB \) este lungimea bazei triunghiului ABC, putem scrie:
\[ AB = \frac{3}{4} \times x \]
Din aceasta putem exprima \( x \) în funcție de \( AB \):
\[ x = \frac{4}{3} \times AB \]
Aria triunghiului MNP va fi:
\[ A_{MNP} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times AB \times h_{MNP} \]
Din propoziția dată, știm că aria triunghiului ABC este de 96 cm², deci \( AB \times h_{ABC} = 192 \).
Putem substitui aceasta în ecuația de mai sus pentru a găsi înălțimea triunghiului ABC și apoi pentru a găsi înălțimea triunghiului MNP. Apoi putem folosi această înălțime pentru a calcula aria triunghiului MNP.
