Explicație pas cu pas:
Pentru a determina dreapta \( x = m \) care este axa de simetrie a graficului unei funcții \( f(x) \), trebuie să găsim punctul de simetrie al graficului, care este punctul în care tangentă la grafic este paralelă cu axa \( y \).
Deoarece axa de simetrie este perpendiculară pe tangenta la grafic, putem folosi faptul că produsul pantei tangentei și pantei axei de simetrie este -1.
Panta tangentei într-un punct \( x \) pentru o funcție \( f(x) \) este derivata funcției în acel punct. Deci, vom lua derivata funcției date și vom rezolva ecuația pentru a găsi punctul \( x \) pentru care tangenta este paralelă cu axa \( y \).
### a) Pentru funcția \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \):
Derivata funcției este \( f'(x) = 6x - 2 \).
Panta tangentei la un punct \( x \) este \( 6x - 2 \).
Panta axei de simetrie este 0, deoarece este o linie verticală.
Pentru a găsi punctul de simetrie, vom căuta punctul unde produsul pantelor este -1:
\[ (6x - 2) \cdot 0 = -1 \]
Aceasta se întâmplă atunci când \( x = \frac{1}{3} \).
Deci, dreapta de simetrie este \( x = \frac{1}{3} \).
### b) Pentru funcția \( f(x) = -\frac{1}{2} x^2 + 2x + \frac{3}{4} \):
Derivata funcției este \( f'(x) = -x + 2 \).
Panta tangentei la un punct \( x \) este \( -x + 2 \).
Panta axei de simetrie este 0, deoarece este o linie verticală.
Pentru a găsi punctul de simetrie, vom căuta punctul unde produsul pantelor este -1:
\[ (-x + 2) \cdot 0 = -1 \]
Aceasta se întâmplă atunci când \( x = 2 \).
Deci, dreapta de simetrie este \( x = 2 \).
