Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{\mathcal{P}_{ABCD} = 2(9 + 4\sqrt{7}) \ cm}}[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \red{\mathcal{A}_{ABCD} = 27\sqrt{7} \ cm^2}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
ABCD este trapez isoscel, AC⊥CB, AC = 12 cm, AB = 16 cm
a) AC⊥CB ⇒ ∡ACB = 90°
Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC:
[tex]BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{16^2-12^2} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \ cm[/tex]
Trapezul este isoscel ⇒ AD ≡ BC ⇒ AD = 4√7 cm
Construim înălțimile DM⊥AB, M∈AB și CN⊥AB, N∈AB
AB║CD ⇒ CDMN este dreptunghi ⇒ MN ≡ CD și DM ≡ CN
DM⊥AB, CN⊥AB, ∡A ≡ ∡B, DM ≡ CN ⇒ ΔADM ≡ ΔBCN ⇒ AM ≡ BN
Aplicăm Teorema catetei în triunghiul dreptunghic ABC
[tex]BC^2 = BN \cdot AB \Rightarrow BN = \dfrac{(4\sqrt{7})^2}{16} = 7 \ cm[/tex]
⇒ AM = 7 cm
MN = AB - (AM + BN) = 16 - 2 · 7 = 2 cm
⇒ CD = 2 cm
Perimetrul trapezului ABCD este:
[tex]\mathcal{P}_{ABCD} = AB+BC+CD+AD = 16+2+2\cdot4\sqrt{7} = \bf2(9 + 4\sqrt{7}) \ cm[/tex]
Pentru a afla înălțimea CN, aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic BCN:
[tex]CN = \sqrt{BC^2-BN^2} = \sqrt{(4\sqrt{7})^2-7^2} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \ cm[/tex]
Aria trapezului ABCD este:
[tex]\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(AB+CD)\cdot CN}{2} = \dfrac{(16+2)\cdot 3\sqrt{7}}{2} = 27\sqrt{7} \ cm^2[/tex]
✍ Reținem:
◉ Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
◉ Teorema catetei: În orice triunghi dreptunghic lungimea unei catete este egală cu media geometrică (proporțională) dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
◉ Teorema înălțimii: În orice triunghi dreptunghic lungimea înălțimii dusă din vârful unghiului drept este egală cu media geometrică dintre lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
