Explicație pas cu pas:
Pentru ca fiecare triplet să fie format din numere în progresie geometrică, trebuie să avem raportul constant între oricare două numere consecutive din triplet. Raportul unei progresii geometrice este egal cu raportul dintre oricare două termeni consecutivi.
Vom rezolva fiecare subpunct în parte:
a) Pentru a determina \( x \) astfel încât tripletul să fie o progresie geometrică, vom verifica dacă raportul dintre oricare două numere consecutive este constant:
\[ \frac{x + 3}{3x + 1} = \frac{9 - x}{x + 3} \]
Vom rezolva această ecuație pentru \( x \).
\[ (x + 3)^2 = (3x + 1)(9 - x) \]
\[ x^2 + 6x + 9 = 27x - 3x^2 + 9 - x \]
\[ 4x^2 + 28x - 18 = 0 \]
\[ x^2 + 7x - \frac{9}{2} = 0 \]
Folosind formula lui Bhaskara, găsim soluțiile pentru \( x \):
\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 18}}{2} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{67}}{2} \]
b) Pentru a determina \( x \) astfel încât tripletul să fie o progresie geometrică, vom verifica dacă raportul dintre oricare două numere consecutive este constant:
\[ \frac{3 + x}{4} = \frac{x + 5x + 4.25}{3 + x} \]
Vom rezolva această ecuație pentru \( x \).
\[ (3 + x)^2 = 4(x + 5x + 4.25) \]
\[ x^2 + 6x + 9 = 4(6x + 4.25) \]
\[ x^2 + 6x + 9 = 24x + 17 \]
\[ x^2 - 18x - 8 = 0 \]
Folosind formula lui Bhaskara, găsim soluțiile pentru \( x \):
\[ x_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 32}}{2} \]
\[ x_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{356}}{2} \]
c) Pentru a determina \( x \) astfel încât tripletul să fie o progresie geometrică, vom verifica dacă raportul dintre oricare două numere consecutive este constant:
\[ \frac{x+2}{x} = \frac{2}{x+2} \]
Vom rezolva această ecuație pentru \( x \).
\[ (x+2)^2 = 2x \]
\[ x^2 + 4x + 4 = 2x \]
\[ x^2 + 2x + 4 = 0 \]
Această ecuație nu are soluții reale, deoarece discriminantul este negativ (\( 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 \)).
d) Pentru a determina \( x \) astfel încât tripletul să fie o progresie geometrică, vom verifica dacă raportul dintre oricare două numere consecutive este constant:
\[ \frac{4}{x + 1} = \frac{3x + 5}{4} \]
Vom rezolva această ecuație pentru \( x \).
\[ 4 \cdot 4 = (x + 1)(3x + 5) \]
\[ 16 = 3x^2 + 5x + 3x + 5 \]
\[ 3x^2 + 8x - 11 = 0 \]
Folosind formula lui Bhaskara, găsim soluțiile pentru \( x \):
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-11)}}{2 \cdot 3} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 132}}{6} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{196}}{6} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm 14}{6} \]
e) Pentru a determina \( x \) astfel încât tripletul să fie o progresie geometrică, vom verifica dacă raportul dintre oricare două numere consecutive este constant:
\[ \frac{x + 2}{x} = \frac{8x}{x + 2} \]
Vom rezolva
