Explicație pas cu pas:
Pentru a găsi câte numere întregi cuprinse între 1 și 10000 se divid cu 7, dar nu se divid cu 3 și nici cu 2, putem folosi principiul inclusiv-exclusiv.
Pasul 1: Găsim câte numere întregi se divid cu 7 între 1 și 10000.
Numărul maxim între 1 și 10000 care se divide cu 7 este 9999 (7 * 1428 = 9996, iar 7 * 1429 = 10003, deci 9999 este ultimul număr întreg care se divide exact cu 7).
Pasul 2: Excluzând numerele care se divid cu 3 și cu 2.
Numerele care se divid cu 3 între 1 și 10000 sunt cele care sunt multipli de 3, iar numerele care se divid cu 2 sunt cele pare. Prin urmare, trebuie să excludem numerele care sunt multipli de 3 și cele pare din intervalul nostru.
Pentru a găsi numerele care sunt multipli de 3 între 1 și 10000, putem folosi formula a0 + n*d <= 10000, unde a0 este primul termen al progresiei aritmetice (în acest caz, 3), d este diferența (în acest caz, 3), iar n este numărul de termeni pe care îl căutăm. Aplicând formula, obținem:
a0 + n*d <= 10000
3 + n*3 <= 10000
n*3 <= 9997
n <= 3332.3333
Așadar, avem 3332 de numere întregi care sunt multipli de 3.
Pentru a găsi numerele pare între 1 și 10000, putem folosi simplu 5000 (jumătate din interval). Deci avem 5000 de numere pare.
Pasul 3: Aplicăm principiul inclusiv-exclusiv.
Numărul total de numere întregi care se divid cu 7 între 1 și 10000 este 9999. Din acestea, 3332 sunt și multipli de 3, iar 5000 sunt pare. Totuși, trebuie să scădem numerele care sunt atât multipli de 3, cât și pare, deoarece ele au fost numărate de două ori. Acestea sunt numerele care sunt multipli de 6.
Pentru a găsi numerele care sunt multipli de 6, putem folosi aceeași formulă ca pentru numerele multipli de 3, dar de această dată cu diferența 6. Aplicând formula, obținem:
a0 + n*d <= 10000
6 + n*6 <= 10000
n*6 <= 9994
n <= 1665.6667
Așadar, avem 1665 de numere întregi care sunt multipli de 6.
Acum, aplicăm principiul inclusiv-exclusiv pentru a calcula numărul final de numere cerute:
9999 - (3332 + 5000 - 1665) = 9999 - (8332 - 1665) = 9999 - 6667 = 3332.
Deci, există 3332 de numere întregi cuprinse între 1 și 10000 care se divid exact cu 7, dar nu se divid cu 3 și nici cu 2.
