Răspuns:
Pentru a rezolva aceste probleme, vom folosi proprietățile geometrice ale prismei triunghiulare și relațiile dintre lungimile segmentelor și unghiurile corespunzătoare.
1. Planele (C₁AB) și (ABC) formează un unghi cu măsura de 45°:
Propoziția este adevărată. Într-o prismă triunghiulară regulată, planele laterale (C₁AB) și (ABC) sunt perpendiculare pe planul de bază (ABC), deci formează unghiuri drepte între ele. De asemenea, deoarece prismele triunghiulare regulate au muchii laterale congruente, unghiurile respective formează unghiuri egale între planele laterale și planul de bază, deci este un unghi de 45°.
2. Oricare ar fi punctul P situat pe muchia CC₁, triunghiul PAB este isoscel:
Propoziția este falsă. Un triunghi PAB este isoscel numai dacă P este mijlocul muchiei C₁C. Orice alt punct de pe muchia CC₁ nu va crea un triunghi isoscel cu muchiile PA și PB.
3. Dreapta A₁M este paralelă cu planul (BCN):
Propoziția este falsă. Dreapta A₁M este în planul ABC₁, iar planul (BCN) este perpendicular pe planul de bază ABC. Prin urmare, dreapta A₁M nu poate fi paralelă cu planul (BCN).
4. A₁M √3 = BN √2:
Pentru a verifica această propoziție, vom folosi relațiile geometrice corespunzătoare. Având în vedere că M este mijlocul muchiei AB și N este mijlocul muchiei A₁C₁ într-o prismă triunghiulară regulată, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice A₁MB și BCN.
A₁M = AB / 2 = 4 / 2 = 2 cm
BN = √(BC² + CN²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm
Așadar, A₁M = 2 cm și BN = 5 cm.
A₁M √3 = 2√3 și BN √2 = 5√2.
Propoziția este falsă deoarece 2√3 ≠ 5√2.