Răspuns :
Pentru a rezolva aceste probleme, vom folosi formulele asociate cu un circuit RLC (rezistor, bobină și condensator).
a) Frecvența oscilațiilor \( f \) poate fi determinată folosind formula:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(20 \times 10^{-9}) \times (20 \times 10^{-3})}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-9}}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-4}} \]
\[ f \approx \frac{1}{4 \pi} \times 10^4 \]
\[ f \approx 7957 \, \text{Hz} \]
Deci, frecvența oscilațiilor este aproximativ \( 7957 \) Hz.
b) Intensitatea maximă a curentului electric \( I_{max} \) poate fi determinată folosind relația:
\[ I_{max} = \frac{U_{m1}}{\sqrt{L/C}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{(20 \times 10^{-3})/(20 \times 10^{-9})}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{1000}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{10} \times 10} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{10\sqrt{10}} \]
\[ I_{max} \approx \frac{15}{31.62} \]
\[ I_{max} \approx 0.474 \, \text{A} \]
Deci, intensitatea maximă a curentului electric este aproximativ \( 0.474 \) A.
c) Pentru a determina tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele, folosim conservarea energiei:
\[ U_{max} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \]
Unde \( Q \) este încărcătura pe fiecare condensator. În momentul când intensitatea este maximă, toată energia va fi stocată în condensatoare. Astfel, \( Q \) poate fi calculată folosind formula:
\[ Q = C_1 \times U_{m1} = 20 \times 10^{-9} \times 15 \]
\[ Q = 300 \times 10^{-9} \, \text{C} \]
\[ Q = 300 \, \text{nC} \]
\[ U_{max} = \frac{300 \times 10^{-9}}{20 \times 10^{-9}} + \frac{300 \times 10^{-9}}{30 \times 10^{-9}} \]
\[ U_{max} = 15 + 10 \]
\[ U_{max} = 25 \, \text{V} \]
Pentru a determina noua frecvență proprie, putem folosi formula:
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3}(20 \times 10^{-9} + 30 \times 10^{-9})}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-9}}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \times 10^4 \]
\[ f' \approx 1592 \, \text{Hz} \]
Deci, tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele este \( 25 \) V, iar frecvența proprie a devenit aproximativ \( 1592 \) Hz.
a) Frecvența oscilațiilor \( f \) poate fi determinată folosind formula:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(20 \times 10^{-9}) \times (20 \times 10^{-3})}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-9}}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-4}} \]
\[ f \approx \frac{1}{4 \pi} \times 10^4 \]
\[ f \approx 7957 \, \text{Hz} \]
Deci, frecvența oscilațiilor este aproximativ \( 7957 \) Hz.
b) Intensitatea maximă a curentului electric \( I_{max} \) poate fi determinată folosind relația:
\[ I_{max} = \frac{U_{m1}}{\sqrt{L/C}} \]
Substituind valorile date, avem:
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{(20 \times 10^{-3})/(20 \times 10^{-9})}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{1000}} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{\sqrt{10} \times 10} \]
\[ I_{max} = \frac{15}{10\sqrt{10}} \]
\[ I_{max} \approx \frac{15}{31.62} \]
\[ I_{max} \approx 0.474 \, \text{A} \]
Deci, intensitatea maximă a curentului electric este aproximativ \( 0.474 \) A.
c) Pentru a determina tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele, folosim conservarea energiei:
\[ U_{max} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \]
Unde \( Q \) este încărcătura pe fiecare condensator. În momentul când intensitatea este maximă, toată energia va fi stocată în condensatoare. Astfel, \( Q \) poate fi calculată folosind formula:
\[ Q = C_1 \times U_{m1} = 20 \times 10^{-9} \times 15 \]
\[ Q = 300 \times 10^{-9} \, \text{C} \]
\[ Q = 300 \, \text{nC} \]
\[ U_{max} = \frac{300 \times 10^{-9}}{20 \times 10^{-9}} + \frac{300 \times 10^{-9}}{30 \times 10^{-9}} \]
\[ U_{max} = 15 + 10 \]
\[ U_{max} = 25 \, \text{V} \]
Pentru a determina noua frecvență proprie, putem folosi formula:
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3}(20 \times 10^{-9} + 30 \times 10^{-9})}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-9}}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \times 10^4 \]
\[ f' \approx 1592 \, \text{Hz} \]
Deci, tensiunea maximă la care se încarcă condensatoarele este \( 25 \) V, iar frecvența proprie a devenit aproximativ \( 1592 \) Hz.
