Răspuns :
Răspuns:
Pentru a calcula lungimea vectorului \( \vec{AM} + \vec{AN} \), vom împărți problema în două părți: calcularea vectorului \( \vec{AM} \) și \( \vec{AN} \).
1. Calculăm \( \vec{AM} \):
\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} \]
\[ \vec{AM} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \left(\frac{1}{3} \cdot \vec{BC}\right) \]
\[ \vec{AM} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \left(\frac{1}{3} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 6 \end{bmatrix}\right) \]
\[ \vec{AM} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \]
\[ \vec{AM} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix} \]
2. Calculăm \( \vec{AN} \):
\[ \vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} \]
\[ \vec{AN} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\right) \]
\[ \vec{AN} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \left(\frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 6 \end{bmatrix}\right) \]
\[ \vec{AN} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \]
\[ \vec{AN} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} \]
Acum, adunăm acești doi vectori:
\[ \vec{AM} + \vec{AN} = \begin{bmatrix} 6 + 6 \\ 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 5 \end{bmatrix} \]
Prin urmare, lungimea vectorului \( \vec{AM} + \vec{AN} \) este \( \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \).
