Pentru a rezolva problema dată, ne vom concentra pe cerințele (a), (b) și (c). Înainte de a începe, trebuie să clarificăm că avem 4 triunghiuri dreptunghice asemenea și toate punctele A, C, E, G, și J sunt pe aceeași linie.
(a) Pentru a demonstra că cele 4 triunghiuri sunt asemenea, trebuie să arătăm că au unghiurile asemenea. Observăm că triunghiurile DGE și AGH au în comun un unghi de 90 de grade, care este unghiul DGA. Deci, triunghiul DGE este dreptunghic și unghiul DGE este unghiul din vârful D al triunghiului DGE. La fel, triunghiul AGH este dreptunghic și unghiul AGH este unghiul din vârful A al triunghiului AGH.
Acum, observăm că triunghiurile ABC și AJH sunt asemenea deoarece au două unghiuri asemenea (unghiul ABC și unghiul AJH sunt ambele egale cu 90 de grade, iar unghiul A este comun ambelor triunghiuri). De asemenea, triunghiurile ABC și JED sunt asemenea deoarece au două unghiuri asemenea (unghiul JED și unghiul ABC sunt ambele egale cu 90 de grade, iar unghiul JED este comun ambelor triunghiuri). Astfel, toate cele patru triunghiuri sunt asemenea.
(b) Să calculăm suma S = BC + DE + FG + HJ.
Pentru a face acest lucru, mai întâi vom calcula lungimile fiecărui segment. Din dimensiunile date pe desen:
- BC = 6 dm
- DE = 5 dm
- FG = 4,5 dm
- HJ = 2 cm = 0,2 dm
Deci, suma S = BC + DE + FG + HJ = 6 dm + 5 dm + 4,5 dm + 0,2 dm = 15,7 dm.
(c) Dacă AC = 10 dm, trebuie să calculăm lungimea segmentului [AJ].
Din teorema lui Pitagora, putem calcula lungimea lui AJ folosind lungimea segmentelor AJ și AC.
\[ AJ = \sqrt{AC^2 + JC^2} \]
\[ AJ = \sqrt{10^2 + 0,2^2} \]
\[ AJ = \sqrt{100 + 0,04} \]
\[ AJ = \sqrt{100,04} \approx 10,002 dm \]
Deci, lungimea segmentului [AJ] este aproximativ 10,002 dm.
