Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, vom folosi proprietățile geometrice ale piramidei patrulatere regulate.
a) Pentru a calcula măsura unghiului format de muchia \( VA \) cu planul bazei, vom folosi trigonometria în triunghiul \( VAB \). Avem:
\[ \cos(\alpha) = \frac{AB}{VA} = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]
Deci, măsura unghiului este \( 45^\circ \).
b) Pentru a calcula măsura unghiului format de muchia \( VB \) cu planul \( VAC \), observăm că acest unghi este unghiul de înclinare dintre muchia \( VB \) și planul \( VAC \), care este egal cu complementul unghiului format de muchia \( VB \) cu planul bazei. Din simetrie, acest unghi va fi la fel ca \( \alpha \), deci \( 45^\circ \).
c) Similar cu b), măsura unghiului format de muchia \( BC \) cu planul \( VAC \) va fi tot \( 45^\circ \), datorită simetriei piramidei patrulatere regulate.
d) Tangenta unghiului diedru format de planele \( VBC \) și \( ABC \) este raportul dintre lungimea proiecției laterale a muchiei \( BC \) pe planul bazei și lungimea muchiei \( BC \). Această proiecție poate fi calculată ca \( BC \cdot \cos(\alpha) \), unde \( \alpha \) este unghiul format de muchia \( BC \) cu planul bazei, pe care l-am calculat la punctul a). Deci:
\[ \tan(\theta) = \frac{BC \cdot \cos(\alpha)}{BC} = \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Deci, tangenta unghiului diedru este \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).
