8. Fie un cerc (0,r), A un punct exterior cercului, astfel încât OA=d, d>r, iar AT una dintre tangentele din A la cercul 6 (fig. 4). a) Dacă r = 6 cm, d = 10 cm, aflați AT. b) Dacă r = 3 dm, AT = 40 cm, aflați d. c) Dacă AT = 12 cm, d = 13 cm, aflați r. T $ O Fig. 4

Pentru a rezolva această problemă, putem folosi teorema lui Pitagora și proprietățile tangentei la un cerc.

a) Dacă r = 6 cm și d = 10 cm, putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OAT, unde OA este ipotenuza, AT este cateta și OT este raza cercului. Avem:

OA^2 = OT^2 + AT^2

Substituind valorile cunoscute, obținem:

10^2 = r^2 + AT^2

Soluționând ecuația, găsim că AT = 8 cm.

b) Dacă r = 3 dm și AT = 40 cm, putem folosi proprietatea tangentei la un cerc care spune că tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza care unește centrul cercului cu punctul de tangență. Așadar, triunghiul OAT este dreptunghic în A. Putem aplica din nou teorema lui Pitagora:

OA^2 = OT^2 + AT^2

Substituind valorile cunoscute, obținem:

d^2 = r^2 + 40^2

Soluționând ecuația, găsim că d = 41 dm.

c) Dacă AT = 12 cm și d = 13 cm, putem aplica din nou teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OAT:

OA^2 = OT^2 + AT^2

Substituind valorile cunoscute, obținem:

13^2 = r^2 + 12^2

Soluționând ecuația, găsim că r = 5 cm.

Sper că aceste explicații te-au ajutat să rezolvi problema!