Pentru a arăta că numărul 465 la puterea \(4k+1\) se poate scrie ca suma de trei pătrate perfecte, putem folosi teorema lui Fermat despre suma a două pătrate.
Teorema lui Fermat afirmă că orice număr prim de forma \(4k+1\) poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte unice. Deci, putem scrie 465 ca suma a două pătrate perfecte, iar apoi să adăugăm un pătrat perfect pentru a obține un număr la puterea a patra:
1. Descompunem 465 într-o sumă de două pătrate perfecte:
\(465 = 21^2 + 12^2\).
2. Adunăm un pătrat perfect pentru a obține un număr la puterea a patra:
\(21^2 + 12^2 + 0^2 = (21^2 + 12^2)^2\).
Astfel, am arătat că \(465^4\) poate fi scris ca suma de trei pătrate perfecte.
