Răspuns:
Pentru a demonstra că N = 27^n + 1(a/2 - b + 5/2) este un număr natural, trebuie să arătăm că a/2 - b + 5/2 este întotdeauna un număr întreg.
Avem:
a = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
b = 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/2n
Putem rescrie a/2 - b + 5/2 în funcție de a și b:
a/2 - b + 5/2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n)/2 - (1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/2n) + 5/2
Simplificând această ecuație, obținem:
a/2 - b + 5/2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n)/2 - (1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/2n) + 5/2
= (1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/6) + (1/4 - 1/8) + ... + (1/n - 1/2n) + 5/2
= 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/2n + 5/2
Observăm că suma 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/2n este o sumă de termeni pozitivi și fiecare termen este un multiplu al lui 1/2. Prin urmare, această sumă este un număr întreg.
Astfel, putem concluziona că a/2 - b + 5/2 este întotdeauna un număr întreg, iar N = 27^n + 1(a/2 - b + 5/2) este un număr natural.
Pentru a determina ultima cifră a lui N, trebuie să calculăm restul împărțirii lui N la 10. Mai precis, trebuie să calculăm N modulo 10.
Având în vedere că 27^n este întotdeauna un număr întreg, putem simplifica problema:
N = 27^n + 1(a/2 - b + 5/2)
N ≡ 7^n + 1(a/2 - b + 5/2) (mod 10)
Observăm că 7^n are un ciclu de repetiție a ultimei cifre:
7^1 ≡ 7 (mod 10)
7^2 ≡ 9 (mod 10)
7^3 ≡ 3 (mod 10)
7^4 ≡ 1 (mod 10)
Deci, pentru n ≥ 4, avem:
7^n ≡ 1 (mod 10)
Înlocuind în ecuația noastră:
N ≡ 7^n + 1(a/2 - b + 5/2) ≡ 1 + 1(a/2 - b + 5/2) ≡ a/2 - b + 6 ≡ a/2 - b + 6 (mod 10)
Prin urmare, ultima cifră a numărului N depinde de a și b. Fără mai multe informații despre valorile lui a și b, nu putem determina în mod specific ultima cifră a lui N.