a) Pentru a găsi funcția f(x) în forma sa generală, putem folosi punctele A și C pentru a determina coeficienții a și b.
Fie (x₁, y₁) = A(2,1) și (x₂, y₂) = C(-3,-14).
Pentru a determina panta (coeficientul a), folosim formula:
\[a = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}\]
\[a = \frac{{-14 - 1}}{{-3 - 2}} = \frac{{-15}}{{-5}} = 3\]
Apoi, pentru a găsi termenul liber (coeficientul b), folosim oricare din punctele date și panta determinată:
\[b = y₁ - a \cdot x₁\]
\[b = 1 - 3 \cdot 2 = -5\]
Deci, funcția f(x) este: \(f(x) = 3x - 5\).
b) Pentru a demonstra că punctele A, B și C sunt coliniare, putem verifica dacă panta segmentelor AB și BC sunt egale.
Panta segmentului AB:
\[m_{AB} = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}\]
\[m_{AB} = \frac{{-8 - 1}}{{-1 - 2}} = \frac{{-9}}{{-3}} = 3\]
Panta segmentului BC:
\[m_{BC} = \frac{{y₃ - y₂}}{{x₃ - x₂}}\]
\[m_{BC} = \frac{{-14 - (-8)}}{{-3 - (-1)}} = \frac{{-6}}{{-2}} = 3\]
Cum \(m_{AB} = m_{BC}\), punctele A, B și C sunt coliniare.
Acum, să generăm graficul funcției \(f(x) = 3x - 5\): Iată graficul funcției \(f(x) = 3x - 5\):
Punctele A și C sunt reprezentate pe grafic, confirmând că aparțin liniei definite de funcția \(f(x)\). De asemenea, punctele B, A și C par să fie pe aceeași linie, susținând demonstrația că sunt coliniare.
