Răspuns:
[tex]\boldsymbol{a) \ \red{4, 3, -3, -4 }}[/tex]
[tex]\boldsymbol{b) \ \red{4, 3, 2, -2, -3, -4}}[/tex]
[tex]\boldsymbol{c) \ \red{5, 4, 3, -3, -4, -5 }}[/tex]
[tex]\boldsymbol{d) \ \red{ 5, 4, 3, 2,-2, -3, -4, -5 }}[/tex]
18. Enumerați elementele mulțimilor, în ordine descrescătoare:
a) A = {x ∈ Z | 2 < |x| < 5}
b) B = {x ∈ Z | 2 ≤ |x| < 5}
c) C = {x ∈ Z | 2 < |x| ≤ 5}
d) D = {x ∈ Z | 2 ≤ |x| ≤ 5}
Explicație pas cu pas:
a) A = {x ∈ Z | 2 < |x| < 5}
◉ |x| < 5 ⇒ -5 < x < 5 ⇒ x ∈ (-5, 5)
◉ 2 < |x| ⇒ -2 < x sau x > 2 ⇒ x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, +∞)
Astfel, din intersecția celor două intervale avem:
⇒ x ∈ (-5, -2) ∪ (2, 5)
x este ±3 și ±4 (nu poate lua niciuna din valorile ±2 sau ±5 deoarece avem intervale deschise la ambele capete)
Elementele mulțimii A sunt:
[tex]A = \{-4,-3,3,4\}[/tex]
Scrise în ordine descrescătoare:
4, 3, -3, -4
***
b) B = {x ∈ Z | 2 ≤ |x| < 5}
◉ |x| < 5 ⇒ -5 < x < 5 ⇒ x ∈ (-5, 5)
◉ 2 ≤ |x| ⇒ -2 ≤ x sau x ≥ 2 ⇒ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, +∞)
Astfel, din intersecția celor două intervale avem:
⇒ x ∈ (-5, -2] ∪ [2, 5)
x este ±2, ±3 și ±4 (nu poate lua valorile ±5)
Elementele mulțimii B sunt:
[tex]B = \{-4,-3,-2,2,3,4\}[/tex]
Scrise în ordine descrescătoare:
4, 3, 2, -2, -3, -4
***
c) C = {x ∈ Z | 2 < |x| ≤ 5}
◉ |x| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ x ≤ 5 ⇒ x ∈ [-5, 5]
◉ 2 < |x| ⇒ -2 < x sau x > 2 ⇒ x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, +∞)
Astfel, din intersecția celor două intervale avem:
⇒ x ∈ [-5, -2) ∪ (2, 5]
x este ±3, ±4 și ±5 (nu poate lua valorile ±2)
Elementele mulțimii C sunt:
[tex]C = \{-5,-4,-3,3,4,5\}[/tex]
Scrise în ordine descrescătoare:
5, 4, 3, -3, -4, -5
***
d) D = {x ∈ Z | 2 ≤ |x| ≤ 5}
◉ |x| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ x ≤ 5 ⇒ x ∈ [-5, 5]
◉ 2 ≤ |x| ⇒ -2 ≤ x sau x ≥ 2 ⇒ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, +∞)
Astfel, din intersecția celor două intervale avem:
⇒ x ∈ [-5, -2] ∪ [2, 5]
x este ±2, ±3, ±4 și ±5
Elementele mulțimii D sunt:
[tex]D = \{-5,-4,-3,-2,2,3,4,5\}[/tex]
Scrise în ordine descrescătoare:
5, 4, 3, 2,-2, -3, -4, -5
✍ Reținem:
Modulul unui număr x, notat cu |x|, reprezintă valoarea absolută a numărului x (numărul x luat fără semn).
Modulul unui număr reprezintă distanța pe axa numerelor dintre număr și 0.
[tex]| \ x \ | = \begin{cases} - x, \ dac\breve{a} \ x < 0 \\ \ \ x, \ dac\breve{a} \ x \geq 0 \end{cases}[/tex]
Despre ecuații și inecuații cu modul