Răspuns :
Răspuns:
## Demonstrația divizibilității cu 10 a numărului 7^2028 - 3^2028
Pentru a demonstra că numărul 7^2028 - 3^2028 este divizibil cu 10, vom folosi următoarele proprietăți:
**1. Proprietatea produsului:**
Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ambii factori ai produsului sunt divizibili cu 10.
**2. Proprietatea diferenței:**
Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă diferența dintre două numere divizibile cu 10 este divizibilă cu 10.
**3. Proprietatea ridicării la putere:**
Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ridicat la o putere pară este divizibil cu 10.
**Demonstrație:**
**1. Observăm că:**
* 7^2 are ultima cifră 9, deci 7^2028 are ultima cifră 1 (ridicarea la o putere pară nu afectează ultima cifră).
* 3^2 are ultima cifră 9, deci 3^2028 are ultima cifră 1 (ridicarea la o putere pară nu afectează ultima cifră).
**2. Conform proprietății diferenței:**
* Deoarece 7^2028 și 3^2028 au ultima cifră 1, diferența lor (7^2028 - 3^2028) este divizibilă cu 10.
**3. Conform proprietății produsului:**
* Deoarece 7^2028 - 3^2028 este divizibil cu 10 și 10 este divizibil cu 10, produsul lor (7^2028 - 3^2028) * 10 este divizibil cu 10.
**Concluzie:**
Prin urmare, numărul 7^2028 - 3^2028 este divizibil cu 10.
vom studia ultima cifra
ultima cifra pentru puterile lui 7 si 3 , se repeta din 4 in 4
U7= 7, 9, 3, 1 apoi se repeta
U3= 3, 9, 7, 1 apoi se repeta
calculam cate grupe de 4 putem forma
2028 : 4= 507 rest 0, avem 507 grupe intregi
U [tex]7^{2008}[/tex] = 1
U [tex]3^{2008}[/tex]= 1
U ([tex]7^{2008}[/tex] - [tex]3^{2008}[/tex])= 1 - 1= 0⇒ este divizibil cu 10.
