Răspuns:
[tex]\boldsymbol{a) \ \red{ N \ \vdots \ 900 }}[/tex]
[tex]\boldsymbol{b) \ \red{a=-4, \ b=-6, \ c=-10}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Scriem șirul de rapoarte egale și notăm proporția cu k:
[tex]\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{5} = k[/tex]
[tex]a=2k, \ b=3k, \ c=5k[/tex]
Înlocuim:
[tex]N = [(2k)^2+4] \cdot [(3k)^2+9] \cdot [(5k)^2+25][/tex]
[tex]N = (4k^2+4) \cdot (9k^2+9) \cdot (25k^2+25)[/tex]
[tex]N = 4(k^2+1) \cdot 9(k^2+1) \cdot 25(k^2+1)[/tex]
[tex]\boldsymbol{N = 900\cdot(k^2+1)^3 \Rightarrow N \ \vdots \ 900}[/tex]
⇒ numărul N este divizibil cu 900
b) Scriem relația dată și aflăm valoarea lui k (pentru b³-c³=784):
[tex]b^3 - c^3 = 784 \Rightarrow (3k)^3 - (5k)^3 = 784\\[/tex]
[tex]27k^3 - 125k^3 = 784 \Rightarrow -98k^3 = 784\\[/tex]
[tex]\Rightarrow k^3 = - 8 \Rightarrow k^3 = (-2)^3 \Rightarrow \boldsymbol{k = -2}\\[/tex]
Numerele sunt:
[tex]a = 2 \cdot (-2) \Rightarrow \boldsymbol{a = -4}[/tex]
[tex]b = 3 \cdot (-2) \Rightarrow \boldsymbol{b = -6}[/tex]
[tex]c = 5 \cdot (-2) \Rightarrow \boldsymbol{c = -10}[/tex]
