Răspuns:
Vom folosi notația vectorială pentru a exprima vectorii \( \overrightarrow{MN} \), \( \overrightarrow{NA} \), și \( \overrightarrow{AP} \) în funcție de \( \overrightarrow{AB} \) și \( \overrightarrow{AC} \).
1. Vectorul \( \overrightarrow{MN} \) se exprimă ca diferența dintre vectorii corespunzători capetelor M și N: \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \).
2. Vectorul \( \overrightarrow{NA} \) se exprimă ca diferența dintre vectorii corespunzători capetelor N și A: \( \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{N} \).
3. Vectorul \( \overrightarrow{AP} \) se exprimă ca diferența dintre vectorii corespunzători capetelor A și P: \( \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} \).
Acum, vom exprima vectorii în funcție de \( \overrightarrow{AB} \) și \( \overrightarrow{AC} \) folosind proporțiile date:
1. \( \overrightarrow{AB} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AM} \) (deoarece \( \frac{2}{3} = \frac{AB}{AM} \))
2. \( \overrightarrow{BC} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BN} \) (deoarece \( \frac{3}{4} = \frac{BC}{BN} \))
3. \( \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \) (deoarece \( \frac{1}{3} = \frac{AN}{AM} \))
Acum, putem rescrie vectorii în funcție de \( \overrightarrow{AB} \) și \( \overrightarrow{AC} \):
1. \( \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \)
2. \( \overrightarrow{NA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \)
3. \( \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \)
Aceste formule exprimă vectorii \( \overrightarrow{MN} \), \( \overrightarrow{NA} \), și \( \overrightarrow{AP} \) în funcție de \( \overrightarrow{AB} \) și \( \overrightarrow{AC} \) în contextul dat.
