Având în vedere informațiile furnizate, să analizăm cerințele:
\(ABCD\) este un pătrat cu \(AB = 8 \, \text{cm}\).
\(MA\) este înălțimea trasată din vârful \(A\) pe planul \(ABC\) și are lungimea \(8\sqrt{3} \, \text{cm}\).
### a) Aria ABCD
Pentru un pătrat, aria (\(A\)) se calculează prin formula \(A = l^2\), unde \(l\) reprezintă lungimea laturii pătratului.
\[ A_{ABCD} = AB^2 = 8^2 = 64 \, \text{cm}^2 \]
### b) \(d(M;DC)\) - Distanța de la \(M\) la dreapta \(DC\)
Distanța de la un punct \(M\) la o dreaptă \(DC\) se calculează folosind formula distanței de la un punct la o dreaptă:
\[ d(M;DC) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Coordonatele punctelor \(D\), \(C\), și \(M\) sunt:
\[ D(0, 0) \]
\[ C(8, 0) \]
\[ M(0, 8\sqrt{3}) \]
\[ d(M;DC) = \frac{|8 \cdot 0 + 0 \cdot 8\sqrt{3} - 8 \cdot 0|}{\sqrt{8^2 + 0^2}} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} \, \text{cm} \]
### c) \(d(M;DB)\) - Distanța de la \(M\) la dreapta \(DB\)
Coordonatele punctelor \(D\), \(B\), și \(M\) sunt:
\[ D(0, 0) \]
\[ B(8, 8) \]
\[ M(0, 8\sqrt{3}) \]
\[ d(M;DB) = \frac{|8 \cdot 8\sqrt{3} + 8 \cdot 0 + 0 \cdot 8|}{\sqrt{8^2 + 8^2}} = \frac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \, \text{cm} \]
### d) \( \tan(\angle MC;(ABC)) \) - Tangenta unghiului \(MC\) cu planul \(ABC\)
\[ \tan(\angle MC;(ABC)) = \frac{\text{opus}}{\text{adiacent}} = \frac{MB}{MC} \]
Coordonatele punctelor \(M\) și \(B\) sunt:
\[ M(0, 8\sqrt{3}) \]
\[ B(8, 8) \]
\[ \tan(\angle MC;(ABC)) = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} \]
### e) \( \sin(\angle DB;MAC) \) - Sinusul unghiului dintre \(DB\) și \(MA\)
\[ \sin(\angle DB;MAC) = \frac{\text{opus}}{\text{hipotenuza}} = \frac{d(M;DB)}{MA} \]
\[ \sin(\angle DB;MAC) = \frac{4\sqrt{6}}{8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \]
