Salut!
Din păcate, nu îți pot face o figură, dar prin cuvinte pot să-ți explic problema.
a) M este mijlocul lui AB => AM=1/2 AB
∆ADB dreptunghic cu unghiul D=90° și DM este mediana triunghiului dreptunghic ADB=> DM =1/2 AB
N este mijlocul lui AC => AN=1/2 AC
∆ADC este dreptunghic cu unghiul D=90° și DN este mediana triunghiului dreptunghic ADC=> DN =1/2 AC
Cum AM=MD și AN=ND => AMDN este un romboid
Dacă AMDN este inscriptibil => unghiurile MAN și MDN sunt egale și suplementare => unghiul MAN este de 90° <=> unghiul BAC=90°
b) Fie O centrul cercului circumscris patrulaterului AMDN
Cum AMDN este patrulater inscriptibil, iar unghiul MAN=90° => O este mijlocul lui MN (deoarece MN este diametru), deci AO este mediana triunghiului MAN(1)
Fie O' centrul cercului circumscris ∆ABC
Și acesta este mijlocul lui BC, deoarece unghiul BAC=90°, deci AO' este mediană în ∆ABC(2)
Deoarece MN este linie mijlocie ∆ABC =>MN||BC(3)
Din (1), (2) și (3) =>, comform unei teoreme al medianei că punctele A, O, O' sunt coliniare
Uite cum este această teoremă a medianei: Fie ABC un triunghi oarecare, AD este mediană în ∆ABC, și AO mediana ∆AMN, unde MN este paralelă cu BC => punctele A, O și D sunt coliniare
