Răspuns: n ∈ {-11, -5, -3, -1, 1, 7}
Se considera expresia E(x) = 2(x-4)² + 3(x-2)(4+x) - (x-3)² - 4(1+x)(x-1) + 2(3x-4), unde x este un număr real.
Rezolvare:
a) Arătați că E(x) = 2x - 5, pentru orice număr real x.
[tex]E(x) = 2(x-4)^2+3(x-2)(4+x)-(x-3)^2-4(1+x)(x-1)+2(3x-4) = 2(x^2-8x+16) + 3(4x+x^2-8-2x) - (x^2-6x+9) - 4(x-1+x^2-x) + 6x-8 = 2x^2-16x+32 + 6x+3x^2-24 - x^2+6x-9 + 4 - 4x^2 + 6x-8 = (2x^2+3x^2-x^2-4x^2) + (-16x+6x+6x+6x) + (32-24-9+4-8) = (5x^2-5x^2) + (18x-16x) + (36-41) = {\bf2x - 5}, \ \ \forall x \in \Bbb{R}[/tex]
***
b) Folosim forma simplificată a expresiei, pe care am obținut-o la punctul a) ⇒ E(n) = 2n - 5
[tex]\dfrac{E(n)}{n+2} = \dfrac{2n-5}{n+2} = \dfrac{2n+4-9}{n+2} = \dfrac{2(n+2)-9}{n+2} = 2 - \dfrac{9}{n+2} \in \Bbb{Z}[/tex]
Deoarece 2 este număr întreg, atunci și fracția trebuie să fie un număr întreg, adică (n+2) este divizor întreg al lui 9:
[tex]\dfrac{9}{n+2} \in \Bbb{Z} \Rightarrow (n+2) \in \mathcal{D}_{\pm9} \Rightarrow (n+2) \in \{-9,-3,-1,1,3,9\} \ \ \big|-2[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \Rightarrow n \in \{-11,-5,-3,-1,1,7\}}[/tex]
______
Formule de calcul prescurtat:
[tex]\boxed{\boxed{\boldsymbol{(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}}} \ \ \boxed{\boldsymbol{(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}}}}[/tex]
______
Aici sunt și alte expresii rezolvate:
- brainly.ro/tema/10732817
- brainly.ro/tema/10654062
- brainly.ro/tema/10766766
- brainly.ro/tema/10451893
- brainly.ro/tema/10776449
