Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Vom rezolva cele două părți ale problemei:
a) Pentru a demonstra că AERF este un romb, trebuie să arătăm că laturile opuse sunt paralele și că au aceeași lungime.
Demonstrarea paralelismului laturilor opuse:
EN este perpendiculară pe AC, iar FM este perpendiculară pe AB.
Din aceasta, avem că EN este paralelă cu FM.
Astfel, AE și AF sunt ambii secante cu EN și FM, iar linia AE este paralelă cu linia FM și viceversa. Deci, AE este paralelă cu AF.
Deci, avem că AE este paralelă cu AF, și AERF este un paralelogram. De asemenea, EN și FM sunt paralele, deci AERF este un trapez.
Demonstrarea lungimii egale a laturilor opuse:
Vom utiliza teorema unghiurilor alternante-interne: într-un trapez, unghiurile opuse sunt egale.
Astfel, avem că unghiul AEN este egal cu unghiul AFM (deoarece EN este paralelă cu FM).
De asemenea, unghiul AEF este egal cu unghiul AMF (deoarece AE este paralelă cu AF).
Avem acum două triunghiuri: AEN și AFM. Acestea sunt triunghiuri dreptunghice, având unghiuri egale. Deci, laturile corespunzătoare sunt egale.
Prin urmare, AE = AF și ER = RF.
Din aceste observații, putem concluziona că AERF este un paralelogram în care laturile opuse sunt paralele și au aceeași lungime, ceea ce îl face un romb.
b) Acum, să ne uităm la MNPQ.
Demonstrarea perpendicularității laturilor:
Avem că EN este perpendiculară pe AC și FM este perpendiculară pe AB.
Din a, știm că AE și AF sunt paralele cu EN și FM, deci AE și AF sunt perpendiculari între ei.
De asemenea, ER și RF sunt perpendiculare pe AC și AB, deci ER și RF sunt, de asemenea, perpendiculare între ele.
Demonstrarea lungimii egale a laturilor:
Știm din a că ER = RF.
Prin urmare, avem că MNPQ este un paralelogram în care laturile opuse sunt perpendiculare și au aceeași lungime, ceea ce îl face un dreptunghi.
Succes sper ce te-am ajutat!!
