Aplicăm l'H
[tex]\boldsymbol{ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}}[/tex]
(sunt satisfăcute condițiile)
[tex]m = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+1}{x(2x-1)} \overset{[\frac{\infty}{\infty} ]}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+1}{2x^2- x} \overset{l'H}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(2x^2+1)'}{(2x^2- x)'} =\\[/tex]
[tex]= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x}{4x - 1} \overset{l'H}{=} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(4x)'}{(4x - 1)'} = \dfrac{4}{4} = 1 \in \Bbb{R}\\[/tex]
[tex]n = \lim\limits_{x \to +\infty} \Big(f(x) - 1 \cdot x\big) = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+1 - x(2x-1)}{2x-1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2+1 - 2x^2+x}{2x-1}=\\[/tex]
[tex]= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{2x-1} \underset{l'H}{\overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{==}} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(x + 1)'}{(2x-1)'} = \dfrac{1}{2} \in \Bbb{R}\\[/tex]
⇒ asimptotă oblică la +∞ este dreapta de ecuație:
[tex]\boldsymbol{y = x + \dfrac{1}{2} }[/tex]
______
Dreapta y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞ a funcției f, dacă şi numai dacă m, n ∈ R (m, n sunt finite), unde:
[tex]\boldsymbol{m = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}, \ n = \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - mx), \ m \neq 0}\\[/tex]
______
Regula lui H'ospital
Dacă sunt satisfăcute condițiile:
[tex]1) \ \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \ \ sau \ \ \lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm \infty \ si \ \lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm \infty[/tex]
[tex]2) \ f \ si \ g \ sunt \ derivabile \ pe \ V - {a} \ si \ g'(x) \neq 0, \ \forall x \in V - {a},[/tex]
[tex]unde \ V \ este \ o \ vecinatate \ a \ lui \ a[/tex]
[tex]3) \ exist\breve{a} \ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \in \Bbb{\overline{R}}[/tex]
În aceste condiții există
[tex]\implies \boldsymbol{ \red{ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}}}, \ \ a \in \Bbb{\overline{R}}[/tex]
______
Despre asimptota oblică:
- https://brainly.ro/tema/11069312
- https://brainly.ro/tema/10899189
