Prima dată, notăm piramida formată de E și planul paralel cu baza A’B’C’D’E. Este doar mai ușor la calcule.
△AEC isoscel , deci ∠ECO= ∠EAO=30 °
Aplicăm teorema ∠30 ° în △AEO:
[tex] EO=\dfrac{AE}{2} =\dfrac{4}{2} =2 \ cm [/tex]
Putem calcula AO cu teorema lui Pitagora în △AEO:
[tex] AO^2 =AE^2 - EO^2 \\ AO^2 = 4^2 -2^2 \\ AO^2 = 16-4=12 \implies AO=2\sqrt{3} \ cm [/tex]
Formula volumului unei piramide patrulatere regulate, cum este [tex] V=\dfrac{A_b \cdot h}{3} [/tex]
Calculam pentru A’B’C’D’E . Mai mult nu calculam , dar scoatem o ecuație de acolo. (Pentru ca ni se da in problema ca volumul ei este 2 cm^3 )
[tex] V_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E} =\dfrac{A_b \cdot h}{3} \\ = \dfrac{(A^{\prime} B^{\prime}) ^2 \cdot EF }{3} =2 \\ \implies (A^{\prime} B^{\prime})^2 \cdot EF =6 \implies A^{\prime} B^{\prime} =\sqrt{\dfrac{6}{EF}} [/tex]
Ok, am terminat parțial cu calculele dar tot trebuie să aflăm pe EF.
Păi A’F || AO , deci △A’EF ~ △AEO
Înainte să scriem raportul de asemănare, calculăm A’F în funcție de A’B’ :
[tex] A^{\prime} C^{\prime}=A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2} \implies A^{\prime} F=\dfrac{A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2}}{2} [/tex]
Bun. Acum ca am aflat A’F în funcție de A’B’, putem scriem raportul de asem.:
[tex] \dfrac{A^{\prime} F}{AO}=\dfrac{EF}{EO} \implies \dfrac{\frac{A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2} }{2}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{EF}{2} \\ \dfrac{A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2} }{2} =\sqrt{3} EF \\ \dfrac{A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2}}{2}=\sqrt{3} EF \\ A^{\prime} B^{\prime} \sqrt{2} = 2\sqrt{3} EF \\ \sqrt{\dfrac{6}{EF}} \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{3} EF \implies \sqrt{\dfrac{12}{EF}}=2\sqrt{3} EF \\ \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{EF}}=2\sqrt{3} EF \implies \dfrac{1}{\sqrt{EF}}=EF \\ EF\sqrt{EF} =1 \implies EF^2 \cdot EF =1 \\ EF^3 = 1 \implies \tt \boxed{EF=1 \ cm} [/tex]
Adică F este mijlocul lui EO
