ABCD este trapez isoscel, AB || CD, AB > CD, BC=CD=AD=15 cm, AB=2BC, d(AB,CD)= (15√3)/2 cm
______
Construim înălțimea CN⊥AB, N∈AB
⇒ d(AB,CD) = CN ⇒ CN = (15√3)/2 cm
Notăm cu P mijlocul AB ⇒ PB = AB : 2 = BC ⇒ ΔBCP este isoscel
[tex]\sin \widehat{CBN} = \dfrac{CN}{BC} = \dfrac{15\sqrt{3} }{2 \cdot 15} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \implies \widehat{CBN} = 60^{\circ}[/tex]
⇒ ΔBCP este echilateral ⇒ CP ≡ BP ≡ AP ⇒ cf. reciproca T. medianei ⇒ ΔABC este dreptunghic, cu ∡ACB = 90° ⇒ AC⊥BC ⇒ d(A, BC) = AC
∡BAC = 90°-60° = 30°
[tex]ctg \ \widehat{BAC} = \dfrac{AC}{BC} \implies AC = BC \cdot ctg \ 30^{\circ} = 15 \cdot \sqrt{3}[/tex]
[tex]\implies d(A, BC) = 15\sqrt{3} \ cm[/tex]
______
✍ Reciproca teoremei medianei: Dacă într-un triunghi lungimea unei mediane este egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare ei, atunci triunghiul este dreptunghic.
