[tex]a = \sqrt{2-\sqrt{2} } , \ b = \sqrt{2+\sqrt{2} }[/tex]
______
[tex]a) \ a \cdot b = \Big(\sqrt{2-\sqrt{2} }\Big) \cdot \Big(\sqrt{2+\sqrt{2} }\Big) = \sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) } = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}[/tex]
b) Ne folosim de rezultatul obținut la punctul a) și uilizăm formula de calcul prescurtat:
[tex]\bf (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]
Astfel:
[tex]= \Big(\sqrt{2-\sqrt{2} } + \sqrt{2+\sqrt{2} }\Big)^2\\[/tex]
[tex]= 2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) } + 2 + \sqrt{2}[/tex]
[tex]= 2 - \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}[/tex]
[tex]= 4 + 2\sqrt{2}[/tex]
c) Raționalizăm numitorii și ne folosim de rezultatul obținut la punctul a)
[tex]\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2} }}{\sqrt{2-\sqrt{2} }} = \dfrac{(\sqrt{2+\sqrt{2} })^2}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) }} = \dfrac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \dfrac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1[/tex]
Așadar:
[tex]\dfrac{b}{a} - \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1 \in \Bbb{Q}[/tex]
q.e.d.
